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on aura l’équation identique

(a)

$0={\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial \theta }}-\mathrm {Y} +(t-\theta )\left({\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial \theta }}-2\mathrm {Z} \right)+(t-\theta )^{2}\left({\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \theta }}-3\mathrm {S} \right)+\ldots$

En appliquant à cette équation le raisonnement que nous avons fait sur celle-ci, $0=k+k't+k''t^{2}+\ldots$ on voit que les coefficients des puissances successives de $t-\theta$ doivent se réduire d’eux-mêmes à zéro. Les fonctions ${\rm {X,Y,Z,\ldots }}$ ne renferment $\theta$ qu’autant qu’il est contenu dans $c,c',\ldots ,$ en sorte que, pour former les différences partielles ${\rm {{\frac {\partial X}{\partial \theta }},{\frac {\partial Y}{\partial \theta }},{\frac {\partial Z}{\partial \theta }},\ldots ,}}$ il suffit de faire varier $c,c',\ldots$ dans ces fonctions, ce qui donne

${\begin{aligned}&{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial \theta }}={\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial c}}{\frac {dc}{d\theta }}+{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial c'}}{\frac {dc'}{d\theta }}+{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial c''}}{\frac {dc''}{d\theta }}+\ldots ,\\\\&{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial \theta }}={\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial c}}{\frac {dc}{d\theta }}+{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial c'}}{\frac {dc'}{d\theta }}+{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial c''}}{\frac {dc''}{d\theta }}+\ldots ,\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Maintenant il peut arriver que quelques-unes des arbitraires $c,c',c'',\ldots$ multiplient l’arc $t$ dans les fonctions périodiques ${\rm {X,Y,Z,\ldots }}$ ; la différentiation de ces fonctions relativement à $\theta ,$ ou, ce qui est la même chose, relativement à ces arbitraires, développera cet arc et le fera sortir hors des signes des fonctions périodiques ; les différences ${\rm {{\frac {\partial X}{\partial \theta }},{\frac {\partial Y}{\partial \theta }},{\frac {\partial Z}{\partial \theta }},\ldots }}$ seront alors de cette forme

${\begin{aligned}&{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial \theta }}=\mathrm {X} '+t\mathrm {X} '',\\\\&{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial \theta }}=\mathrm {Y} '+t\mathrm {Y} '',\\\\&{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \theta }}=\mathrm {Z} '+t\mathrm {Z} '',\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . .

$X',X'',Y',Y'',Z',Z'',\ldots$ étant des fonctions périodiques de $t,$ et renfermant de plus les arbitraires $c,c',c'',\ldots$ et leurs premières diffé-