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d’où l’on tire, en comparant les cosinus semblables,

$b_{s}^{(i)}=\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{s+1}^{(i)}-\alpha b_{s+1}^{(i-1)}-\alpha b_{s+1}^{(i+1)}.$

La formule (a) donne

$b_{s+1}^{(i+1)}={\frac {i\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{s+1}^{(i)}-(i+s)\alpha b_{s+1}^{(i-1)}}{(i-s)\alpha }}\,;$

l’expression précédente de $b_{s}^{(i)}$ deviendra ainsi

$b_{s}^{(i)}={\frac {2s\alpha b_{s+1}^{(i-1)}-s\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{s+1}^{(i)}}{i-s}}.$

En changeant $i$ en $i+1$ dans cette équation, on aura

$b_{s}^{(i+1)}={\frac {2s\alpha b_{s+1}^{(i)}-s\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{s+1}^{(i+1)}}{i-s+1}}.$

et, si l’on substitue au lieu de $b_{s+1}^{(i+1)}$ sa valeur précédente, on aura

$b_{s}^{(i+1)}={\frac {s(i+s)\alpha \left(1+\alpha ^{2}\right)b_{s+1}^{(i-1)}+s\left[2(i-s)\alpha ^{2}-i\left(1+\alpha ^{2}\right)^{2}\right]b_{s+1}^{(i)}}{(i-s)(i-s+1)\alpha }}.$

Ces deux expressions de $b_{s}^{(i)}$ et de $b_{s}^{(i+1)}$ donnent

(b)

$b_{s+1}^{(i)}={\frac {{\frac {i+s}{s}}\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{s}^{(i)}-2{\frac {i-s+1}{s}}\alpha b_{s}^{(i+1)}}{\left(i-\alpha ^{2}\right)^{2}}}\,;$

en substituant au lieu de $b_{s}^{(i+1)}$ sa valeur tirée de l’équation (a), on aura

(c)

$b_{s+1}^{(i)}={\frac {{\frac {s-i}{s}}\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{s}^{(i)}+{\frac {2(i+s-1)}{s}}\alpha b_{s}^{(i-1)}}{\left(i-\alpha ^{2}\right)^{2}}},$

expression que l’on peut conclure de la précédente, en y changeant $i$ dans $-i,$ et observant que $b^{(i)}=b^{(-i)}.$ On aura donc, au moyen de