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qu’ici de les intégrer complètement que dans le seul cas où le système n’est composé que de deux corps. Dans les autres cas, on n’a pu obtenir qu’un petit nombre d’intégrales rigoureuses, que nous allons développer.

8. Pour cela, considérons d’abord les équations différentielles en $x,x',x'',\ldots ,$ en les ajoutant ensemble, et en observant que, par la nature de la fonction $\lambda ,$ on a

$0={\frac {\partial \lambda }{\partial x}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial x'}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial x''}}+\ldots ,$

on aura

$0=\Sigma m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.$

On aura pareillement

$0=\Sigma m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\qquad 0=\Sigma m{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}.$

Soient $\mathrm {X,Y,Z}$ les trois coordonnées du centre de gravité du système ; on aura, par la propriété de ce centre,

$\mathrm {X} ={\frac {\Sigma mx}{\Sigma m}},\qquad \mathrm {Y} ={\frac {\Sigma my}{\Sigma m}},\qquad \mathrm {Z} ={\frac {\Sigma mz}{\Sigma m}}\,;$

on aura donc

$0={\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt^{2}}},\qquad 0={\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt^{2}}},\qquad 0={\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt^{2}}},$

d’où l’on tire, en intégrant,

$\mathrm {X} =a+bt,\qquad \mathrm {Y} =a'+b't,\qquad \mathrm {Z} =a''+b''t,$

$a,b,a',b',a'',b''$ étant des constantes arbitraires. On voit par là que le mouvement du centre de gravité du système est rectiligne et uniforme, et qu’ainsi il n’est point altéré par l’action réciproque des corps du système ; ce qui est conforme à ce que nous avons vu dans le Chapitre V du premier Livre.

Reprenons les équations différentielles du mouvement de ces corps.