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MÉCANIQUE CÉLESTE.

Si l’on détermine $\psi$ et $\theta$ de manière que l’on ait

$\sin \theta \sin \psi ={\frac {c''}{\sqrt {c^{2}+c^{'2}+c^{''2}}}},\qquad \sin \theta \cos \psi ={\frac {-c'}{\sqrt {c^{2}+c^{'2}+c^{''2}}}},$

ce qui donne

$\cos \theta ={\frac {c}{\sqrt {c^{2}+c^{'2}+c^{''2}}}},$

on aura

${\begin{aligned}&\sum m{\frac {x_{\text{ııı}}dy_{\text{ııı}}-y_{\text{ııı}}dx_{\text{ııı}}}{dt}}={\sqrt {c^{2}+c'^{2}+c''^{2}}},\\&\sum m{\frac {x_{\text{ııı}}dz_{\text{ııı}}-z_{\text{ııı}}dx_{\text{ııı}}}{dt}}=0,\\&\sum m{\frac {y_{\text{ııı}}dz_{\text{ııı}}-z_{\text{ııı}}dy_{\text{ııı}}}{dt}}=0\;;\end{aligned}}$

les valeurs de $c'$ et de $c''$ sont donc nulles par rapport au plan des $x_{\text{ııı}}$ et des $y_{\text{ııı}}$ déterminé de cette manière. Il n’existe qu’un seul plan qui jouisse de cette propriété ; car, en supposant qu’il soit celui des $x$ et des $y,$ on aura

${\begin{aligned}&\sum m{\frac {x_{\text{ııı}}dz_{\text{ııı}}-z_{\text{ııı}}dx_{\text{ııı}}}{dt}}=c\sin \theta \cos \varphi ,\\&\sum m{\frac {y_{\text{ııı}}dz_{\text{ııı}}-z_{\text{ııı}}dy_{\text{ııı}}}{dt}}=-c\sin \theta \sin \varphi .\end{aligned}}$

En égalant ces deux fonctions à zéro, on aura $\sin \theta =0,$ c’est-à-dire que le plan des $x_{\text{ııı}}$ et des $y_{\text{ııı}}$ coïncide alors avec celui des $x$ et des $y.$

La valeur de $\sum m{\frac {x_{\text{ııı}}dz_{\text{ııı}}-z_{\text{ııı}}dx_{\text{ııı}}}{dt}}$ étant égale à ${\sqrt {c^{2}+c'^{2}+c''^{2}}},$ quel que soit le plan des $x$ et des $y,$ il en résulte que la quantité $c^{2}+c'^{2}+c''^{2}$ est la même, quel que soit ce plan, et que le plan des $x_{\text{ııı}}$ et des $y_{\text{ııı}},$ déterminé par ce qui précède, est celui relativement auquel la fonction $\sum m{\frac {x_{\text{ııı}}dy_{\text{ııı}}-y_{\text{ııı}}dx_{\text{ııı}}}{dt}}$ est le plus grande ; le plan dont il s’agit jouit donc de ces propriétés remarquables, savoir ;1^o que la somme des aires tracées par les projections des rayons vecteurs des corps, et multipliées respectivement par leurs masses, y est le plus grande possible ;2^o que la même somme, relativement à un plan quelconque qui lui est per-