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en la différen liant par rapport à $\alpha ,$ on aura

(S)

$0={\frac {d^{2}.r\delta r}{dt^{2}}}+{\frac {\mu r\delta r}{r^{3}}}+2\int \delta d\mathrm {R} +\delta .r\mathrm {R} '.$

Nommons $dv$ l’arc infiniment petit intercepté entre les deux rayons vecteurs $r$ et $r+dr$ ; l’élément de la courbe décrite par $m$ autour de ${\rm {M}}$ sera ${\sqrt {dr^{2}+r^{2}dv^{2}}}\,;$ on aura ainsi

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=dr^{2}+r^{2}dv^{2},$

et l’équation (Q) deviendra

$0={\frac {r^{2}dv^{2}+dr^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {2\mu }{r}}+{\frac {\mu }{a}}+2\int d\mathrm {R} .$

En éliminant ${\frac {\mu }{a}}$ de cette équation, au moyen de l’équation (R), on aura

${\frac {r^{2}dv^{2}}{dt^{2}}}={\frac {rd^{2}r}{dt^{2}}}+{\frac {\mu }{r}}+r\mathrm {R} ',$

d’où l’on tire, en différentiant par rapport à $\alpha ,$

${\frac {2r^{2}dvd\delta v}{dt^{2}}}={\frac {rd^{2}\delta r-\delta rd^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {3\mu r\delta r}{r^{3}}}+r\delta \mathrm {R} '-\mathrm {R} '\delta r.$

Si l’on substitue dans cette équation, au lieu de ${\frac {\mu r\delta r}{r^{3}}},$ sa valeur tirée de l’équation (S), on aura

(T)

$d\delta v={\frac {d(dr\delta r+2rd\delta r)+dt^{2}\left(3\int \delta d\mathrm {R} +2r\delta \mathrm {R} '+\mathrm {R} '\delta r\right)}{r^{2}dv}}$

On pourra, au moyen des équations (S) et (T), avoir aussi exactement que l’on voudra les valeurs de $\delta r$ et de $\delta v$ ; mais on doit observer que, $dv$ étant l’angle intercepté entre les rayons $r$ et $r+dr$, l’intégrale $v$ de ces angles n’est pas dans un même plan. Pour en conclure la valeur de l’angle décrit autour de ${\rm {M}}$ par la projection du rayon vecteur $r$ sur un plan fixe, désignons par $v,$ ce dernier angle, et nommg\varpi $s$ la tangente de la latitude de $m$ au-dessus de ce plan ; $r(1+s^{2})^{-{\frac {1}{2}}}$ sera l’ex-