observant que, si
est la durée de la révolution sidérale de la Terre, dont la moyenne distance au Soleil est prise pour unité, on a, par le no 16, ![{\displaystyle \mathrm {T} =2\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/504bc1d77d52e6820b4a1b1f74e42831676a3b98)
(a)
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Les mêmes cosinus pouvant appartenir à plusieurs arcs, cette expression de
est ambiguë, et il faut bien distinguer les arcs auxquels répondent les cosinus
et
.
Dans la parabole, le demi-grand axe
est infini, et l’on a
![{\displaystyle \operatorname {arc\,\cos } z'-\sin(\operatorname {arc\,\cos } z')={\frac {1}{6}}\left({\frac {R+c}{a}}\right)^{\frac {3}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c7e07cbbd4cfad209ed3669267a1ac92df28da7)
En faisant
négatif, on aura la valeur de
; la formule (a) donnera donc, pour le temps
employé à décrire l’arc sous-tendu par la corde ![{\displaystyle c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5e8f9eb465084d3a00a24026b80652b74ef58e)
![{\displaystyle \scriptstyle {\mathrm {T} }=\displaystyle {\frac {\mathrm {T} }{12\pi }}\left[(r+r'+c)^{\frac {3}{2}}\mp (r+r'-c)^{\frac {3}{2}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f223ee944430bf6511eeb97dc94a3c160d2d6860)
le signe
ayant lieu lorsque les deux extrémités de l’arc parabolique sont situées du même côté de l’axe de la parabole, ou lorsque, l’une d’elles étant située au-dessous, l’angle formé par les deux rayons vecteurs est tourné vers le périhélie ; il faut employer le signe
dans les autres cas.
étant égal à
on a
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {T} }{12\pi }}=9^{\mathrm {j} }{,}688726.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beeafe3df6bbc3cab4498aa0398188a59c3f692b)
Dans l’hyperbole,
est négatif ;
et
deviennent plus grands que l’unité ; les arcs
et
sont imaginaires, et l’on a en logarithmes hyperboliques
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arc\,\cos } z&={\frac {1}{\sqrt {-1}}}\operatorname {\log } \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right),\\\\\operatorname {arc\,\cos } z'&={\frac {1}{\sqrt {-1}}}\operatorname {\log } \left(z'+{\sqrt {z'^{2}-1}}\right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98b0e037621052062a20a05781bee6c5fa4f061a)