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observant que, si ${\rm {T}}$ est la durée de la révolution sidérale de la Terre, dont la moyenne distance au Soleil est prise pour unité, on a, par le n^o 16, $\mathrm {T} =2\pi ,$

(a)

$\scriptstyle {\mathrm {T} }=\displaystyle {\frac {a^{\frac {3}{2}}\mathrm {T} }{2\pi }}\left[\operatorname {arc\,\cos } z'-\operatorname {arc\,\cos } z-\sin(\operatorname {arc\,\cos } z')+\sin(\operatorname {arc\,\cos } z)\right].$

Les mêmes cosinus pouvant appartenir à plusieurs arcs, cette expression de $\scriptstyle {\rm {T}}$ est ambiguë, et il faut bien distinguer les arcs auxquels répondent les cosinus $z$ et $z'$.

Dans la parabole, le demi-grand axe $a$ est infini, et l’on a

$\operatorname {arc\,\cos } z'-\sin(\operatorname {arc\,\cos } z')={\frac {1}{6}}\left({\frac {R+c}{a}}\right)^{\frac {3}{2}}.$

En faisant $c$ négatif, on aura la valeur de $\operatorname {arc\,\cos } z-\sin(\operatorname {arc\,\cos } z)$ ; la formule (a) donnera donc, pour le temps $t$ employé à décrire l’arc sous-tendu par la corde $c,$

$\scriptstyle {\mathrm {T} }=\displaystyle {\frac {\mathrm {T} }{12\pi }}\left[(r+r'+c)^{\frac {3}{2}}\mp (r+r'-c)^{\frac {3}{2}}\right].$

le signe $-$ ayant lieu lorsque les deux extrémités de l’arc parabolique sont situées du même côté de l’axe de la parabole, ou lorsque, l’une d’elles étant située au-dessous, l’angle formé par les deux rayons vecteurs est tourné vers le périhélie ; il faut employer le signe $+$ dans les autres cas. ${\rm {T}}$ étant égal à $365^{\mathrm {j} }{,}25638,$ on a

${\frac {\mathrm {T} }{12\pi }}=9^{\mathrm {j} }{,}688726.$

Dans l’hyperbole, $a$ est négatif ; $z$ et $z'$ deviennent plus grands que l’unité ; les arcs $\operatorname {arc\,\cos } z$ et $\operatorname {arc\,\cos } z'$ sont imaginaires, et l’on a en logarithmes hyperboliques

${\begin{aligned}\operatorname {arc\,\cos } z&={\frac {1}{\sqrt {-1}}}\operatorname {\log } \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right),\\\\\operatorname {arc\,\cos } z'&={\frac {1}{\sqrt {-1}}}\operatorname {\log } \left(z'+{\sqrt {z'^{2}-1}}\right)\,;\end{aligned}}$