Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/271

Le secteur infiniment petit, que la projection du rayon vecteur de la comète sur le plan de l’écliptique décrit durant l’élément du temps $dt,$ est ${\frac {xdy-ydx}{2}}$ et il est visible que ce secteur est positif ou négatif, suivant que le mouvement de la comète est direct ou rétrograde ; ainsi, en formant la quantité $x\left({\frac {dy}{dt}}\right)-y\left({\frac {dx}{dt}}\right),$ indiquera par son signe le sens du mouvement de la comète.

Pour déterminer la position de l’orbite, nommons $\varphi$ son inclinaison à l’écliptique, et ${\rm {I}}$ la longitude du nœud qui serait ascendant si le mouvement de la comète était direct ; nous aurons

$z=y\cos \mathrm {I} \operatorname {tang} \varphi -x\sin \mathrm {I} \operatorname {tang} \varphi .$

Cette équation, combinée avec sa différentielle, donne

${\begin{aligned}\operatorname {tang} \mathrm {I} &={\frac {y\left({\frac {dz}{dt}}\right)-z\left({\frac {dy}{dt}}\right)}{x\left({\frac {dz}{dt}}\right)-z\left({\frac {dx}{dt}}\right)}},\\\\\operatorname {tang} \varphi &={\frac {y\left({\frac {dz}{dt}}\right)-z\left({\frac {dy}{dt}}\right)}{\sin \mathrm {I} \left[x\left({\frac {dy}{dt}}\right)-y\left({\frac {dx}{dt}}\right)\right]}}\end{aligned}}$

$\varphi$ devant toujours être positif et moindre qu’un angle droit, cette condition détermine le signe de $\sin {\rm {I}}$ ; or, la tangente de ${\rm {I}}$ et le signe de son sinus étant déterminés, l’angle ${\rm {I}}$ est entièrement déterminé. Cet angle est la longitude du nœud ascendant de l’orbite, si le mouvement est direct ; mais il faut lui ajouter deux angles droits pour avoir la longitude de ce nœud, si le mouvement est rétrograde. Il serait plus simple de ne considérer que des mouvements directs, en faisant varier l’inclinaison $\varphi$ des orbites depuis zéro jusqu’à deux angles droits ; car il est visible qu’alors les mouvements rétrogrades répondent à une inclinaison plus grande qu’un angle droit. Dans ce cas, $\operatorname {tang} \varphi$ est du même signe que $x\left({\frac {dy}{dt}}\right)-y\left({\frac {dx}{dt}}\right),$ ce qui détermine $\sin {\rm {{I},}}$ et par conséquent l’angle ${\rm {{I},}}$ qui exprime toujours la longitude du nœud ascendant.