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et, dans le cas de $i=1,$ on a

${\frac {\partial \mathrm {A} ^{(1)}}{\partial a}}={\frac {1}{a'^{2}}}\left(1-{\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(1)}}{d\alpha }}\right).$

Enfin on a, dans le cas même de $i=1$,

${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a^{2}}}&=-{\frac {1}{a'^{3}}}{\frac {d^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(i)}}{d\alpha ^{2}}},\\\\{\frac {\partial ^{3}\mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a^{3}}}&=-{\frac {1}{a'^{4}}}{\frac {d^{3}b_{\frac {1}{2}}^{(i)}}{d\alpha ^{3}}},\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pour avoir les différences de ${\rm {{A}^{(i)}}}$ relatives à $a',$ on observera que, ${\rm {{A}^{(i)}}}$ étant une fonction homogène en $a$ et $a'$ de la dimension $-1,$ on a, par la nature de ce genre de fonctions

$a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i)}}{\partial a}}+a'{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i)}}{\partial a'}}=-{\rm {A}}^{(i)},$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}a'\ {\frac {\partial {\rm {A}}^{(i)}}{\partial a'}}&=-{\rm {A}}^{(i)}-a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i)}}{\partial a}},\\\\a'\ {\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(i)}}{\partial a\partial a'}}&=-2{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i)}}{\partial a}}-a{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(i)}}{\partial a^{2}}},\\\\a'^{2}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(i)}}{\partial a'^{2}}}&=2{\rm {A}}^{(i)}+4a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i)}}{\partial a}}+a^{2}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(i)}}{\partial a^{2}}},\\\\a'^{2}{\frac {\partial ^{3}{\rm {A}}^{(i)}}{\partial a'^{2}\partial a}}&=6{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i)}}{\partial a}}+6a{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(i)}}{\partial a^{2}}}+a^{2}{\frac {\partial ^{3}{\rm {A}}^{(i)}}{\partial a^{3}}},\\\\a'^{3}{\frac {\partial ^{3}{\rm {A}}^{(i)}}{\partial a'^{3}}}&=-6{\rm {A}}^{(i)}-18a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i)}}{\partial a}}-9a^{2}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(i)}}{\partial a^{2}}}-a^{3}{\frac {\partial ^{3}{\rm {A}}^{(i)}}{\partial a^{3}}},\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

On aura ${\rm {B}}^{(i)}$ et ses différences en observant que, par le numéro précédent, la série

${\frac {1}{2}}{\rm {B^{(0)}+B^{(1)}\cos \theta +B^{(2)}\cos 2\theta +\ldots }}$

est le développement de la fonction $a'^{-3}\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}},$ suivant les cosinus de l’angle $\theta$ et de ses multiples ; or cette fonction ainsi dé-