autres, la fonction est une intégrale exacte. En effet, les parties de cette fonction, relatives aux forces attractives dirigées vers des points fixes, sont, par le n° 8, des intégrales exactes. Cela est également vrai par rapport aux parties qui dépendent des attractions mutuelles des corps du système ; car, si l’on nomme la distance de à et l’attraction de sur la partie de relative à l’attraction de sur sera, par le numéro cité, égale à la différence étant prise en ne faisant varier que les coordonnées Mais, la réaction étant égale et contraire à l’action, la partie de relative à l’attraction de sur est égale à en ne faisant varier, dans que les coordonnées la partie de la fonction relative à l’attraction réciproque de et de est donc tout étant supposé varier dans Cette quantité est une différence exacte lorsque est une fonction de ou lorsque l’attraction est comme une fonction de la distance, ainsi que nous le supposerons toujours ; la fonction est donc une différence exacte, toutes les fois que les forces qui agissent sur les corps du système sont le résultat de leur attraction mutuelle, ou de forces attractives dirigées vers des points fixes. Soit alors cette différence, et nommons la vitesse de celle de etc. ; on aura
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Cette équation est analogue à l’équation du n° 8 ; elle est la traduction analytique du principe de la conservation des forces vives. On nomme force vive d’un corps le produit de sa masse par le carré de sa vitesse. Le principe dont il s’agit consiste en ce que la somme des forces vives, ou la force vive totale du système, est constante, si le système n’est sollicité par aucune force ; et, si les corps sont sollicités par des forces quelconques, la somme des accroissements de la force vive totale est la même, quelles que soient les courbes décrites par chacun de ces corps, pourvu que leurs points de départ et d’arrivée soient les mêmes.
Ce principe n’a lieu que dans les cas où les mouvements des corps
