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Pour que ces séries soient convergentes, il faut que $\alpha$ soit moindre que l’unité ; c’est ce que l’on peut toujours faire, en prenant pour $\alpha$ le rapport de la plus petite des distances $a$ et $a'$ à la plus grande ; ainsi, ayant supposé $\alpha ={\frac {a}{a'}},$ nous supposerons $a$ plus petit que $a'.$

Dans la théorie du mouvement des corps $m,m',m'',\ldots ,$ on a besoin de connaître les valeurs de $b_{s}^{(0)}$ et de $b_{s}^{(1)}$ lorsque $s={\frac {1}{2}}$ et $s={\frac {3}{2}}.$ Dans ces deux cas, ces valeurs sont peu convergentes, si $\alpha$ n’est pas une petite fraction. Ces séries convergent avec plus de rapidité, lorsque $s=-{\frac {1}{2}},$ et l’on a

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}&=1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\alpha ^{2}+\left({\frac {1.1}{2.4}}\right)^{2}\alpha ^{4}+\left({\frac {1.1.3}{2.4.6}}\right)^{2}\alpha ^{6}+\left({\frac {1.1.3.5}{2.4.6.8}}\right)^{2}\alpha ^{8}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\ldots ,\\\\b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}&=-\alpha \left(1-{\frac {1.1}{2.4}}\alpha ^{2}-{\frac {1}{4}}{\frac {1.1.3}{2.4.6}}\alpha ^{4}-{\frac {1.3}{4.6}}.{\frac {1.1.3.5}{2.4.6.8}}\alpha ^{6}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {1.3.5}{4.6.8}}.{\frac {1.1.3.5.7}{2.4.6.8.10}}\alpha ^{8}-\ldots \right).\end{aligned}}$

Dans la théorie des planètes et des satellites, il suffira de prendre la somme des onze ou douze premiers termes, en négligeant les termes suivants, ou plus exactement, en les sommant comme une progression géométrique dont la raison est $\alpha ^{2}.$ Lorsque l’on aura ainsi déterminé $b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}$ et $b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)},$ on aura $b_{\frac {1}{2}}^{(0)},$ en faisant $i=0$ et $s=-{\frac {1}{2}}$ dans la formule {b), et l’on trouvera

$b_{\frac {1}{2}}^{(0)}={\frac {\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}+6\alpha b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}.$

Si, dans la formule (c), on suppose $i=1$ et $s=-{\frac {1}{2}},$ on aura

$b_{\frac {1}{2}}^{(1)}={\frac {2\alpha b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}+3\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}.$

Au moyen de ces valeurs de $b_{\frac {1}{2}}^{(0)}$ et de $b_{\frac {1}{2}}^{(1)},$ on aura, par les formules précédentes, les valeurs de $b_{\frac {1}{2}}^{(i)}$ et de ses différences, quel que soit le nombre $i,$ et l’on en conclura les valeurs de $b_{\frac {3}{2}}^{(i)}$ et de ses différences.