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${\rm {B}}$ étant une nouvelle constante arbitraire. Toutes les lois d’attraction dans lesquelles une sphère agit sur un point extérieur placé à la distance $r$ de son centre comme si toute sa masse était réunie à ce centre sont donc comprises dans la formule générale

$\mathrm {A} r+{\frac {\mathrm {B} }{r^{2}}}\,;$

il est aisé de voir qu’en effet cette valeur satisfait à l’équation (D), quels que soient ${\rm {A}}$ et $\mathrm {B} .$

Si l’on suppose $\mathrm {A} =0,$ on aura la loi de la nature, et l’on voit que, dans le nombre infini des lois qui rendent l’attraction très-petite à de grandes distances, celle de la nature est la seule dans laquelle les sphères ont la propriété d’agir comme si leurs masses étaient réunies à leurs centres.

Cette loi est encore la seule dans laquelle un corps placé au dedans d’une couche sphérique, partout d’égale épaisseur, est également attiré de toutes parts. Il résulte de l’analyse précédente que l’attraction de la couche sphérique, dont l’épaisseur est $du,$ sur un point placé dans son intérieur, a pour expression

$2\pi udu{\frac {\partial .{\frac {1}{r}}\left[\psi (u+r)-\psi (u-r)\right]}{\partial r}}.$

Pour que cette fonction soit nulle, on doit avoir

$\psi (u+r)-\psi (u-r)=r\mathrm {U} .$

${\rm {U}}$ étant une fonction de $u$ indépendante de $r,$ et il est facile de voir que cela a lieu dans la loi de la nature où $\varphi (f)={\frac {B}{f^{2}}}.$ Mais, pour faire voir que cela n’a lieu que dans cette loi, nous désignerons par $\psi '(f)$ la différence de $\psi (f)$ divisée par $df\,;$ nous désignerons encore par $\psi ''(f)$ la différence de $\psi '(f)$ divisée par $df,$ et ainsi de suite ; nous aurons ainsi, en différentiant deux fois de suite l’équation précédente par rapport à $r,$

$\psi ''(u+r)-\psi ''(u-r)=0.$