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Si l’on multiplie les équations différentielles en $y,y',y'',\ldots$ respectivement par $x,x',x'',\ldots ,$ et qu’on les ajoute aux équations différentielles en $x,x',x'',\ldots ,$ multipliées respectivement par $-y,-y',-y'',\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}0=&m{\frac {xd^{2}y-yd^{2}x}{dt^{2}}}+m'{\frac {x'd^{2}y'-y'd^{2}x'}{dt^{2}}}+\ldots \\\\&+y{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}+y'{\frac {\partial \lambda }{\partial x'}}+\ldots \\\\&-x{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}-x'{\frac {\partial \lambda }{\partial y'}}-\ldots \,;\end{aligned}}$

mais la nature de la fonction $\lambda$ donne

$0=y{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}+y'{\frac {\partial \lambda }{\partial x'}}+\ldots -x{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}-x'{\frac {\partial \lambda }{\partial y'}}-\ldots \,;$

on aura donc, en intégrant l’équation précédente,

$c=\Sigma m{\frac {xdy-ydx}{dt}}.$

On trouvera semblablement

$c'=\Sigma m{\frac {xdz-zdx}{dt}},\qquad c''=\Sigma m{\frac {ydz-zdy}{dt}},$

$c,c',c'',\ldots ,$ étant des constantes arbitraires. Ces trois intégrales renferment le principe des aires, que nous avons exposé dans le Chapitre V du premier Livre.

Enfin, si l’on multiplie les équations différentielles en $x,x',x'',\ldots$ respectivement par $dx,dx',dx'',\ldots \,;$ celles en $y,y',y'',\ldots$ respectivement par $dy,dy',dy'',\ldots \,;$ celles en $z,z',z'',\ldots$ respectivement par $dz,dz',$$dz'',\ldots ,$ et qu’on les ajoute ensemble, on aura

$0=\Sigma m{\frac {dxd^{2}x+dyd^{2}y+dzd^{2}z}{dt^{2}}}-d\lambda ,$

et, en intégrant,

$h=\Sigma m{\frac {d^{2}x+d^{2}y+d^{2}z}{dt^{2}}}-2d\lambda ,$