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la valeur de $i$ s’étendant ici, comme dans ce qui va suivre, à tous les nombres entiers positifs et négatifs, la seule valeur $i=0$ étant exceptée. L’équation différentielle en $\delta u'$ deviendra donc, en multipliant la valeur de ${\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}}$ par $n^{2}a^{3}$ qui est égal à l’unité,

$0={\frac {d^{2}\delta u'}{dt^{2}}}+n^{2}\delta u'$

$-m'n^{2}{\frac {a}{a'^{2}}}\gamma \sin(n't+\varepsilon '-\Pi )+{\frac {m'n^{2}}{2}}aa'{\rm {B}}^{(1)}\gamma \sin(nt+\varepsilon -\Pi )$

$+{\frac {m'n^{2}}{2}}aa'\Sigma {\rm {B}}^{(i-1)}\gamma \sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\Pi \right]\,;$

d’où l’on tire, en intégrant et en observant que, par le n^o 47, $\delta s=-a\delta u,$

${\begin{aligned}&\delta s=-{\frac {m'n^{2}}{n^{2}-n'^{2}}}{\frac {a^{2}}{a'^{2}}}\gamma \sin(n't+\varepsilon '-\Pi )-{\frac {m'a^{2}a'}{4}}{\rm {B}}^{(1)}nt.\gamma \cos(nt+\varepsilon -\Pi )\\\\&+{\frac {m'n^{2}a^{2}a'}{2}}\Sigma {\frac {{\rm {B}}^{(i-1)}}{n^{2}-\left[n-i(n-n')\right]^{2}}}\gamma \sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\Pi \right].\end{aligned}}$

Pour avoir la latitude de $m$ au-dessus d’un plan fixe peu incliné à celui de son orbite primitive, en nommant $\varphi$ l’inclinaison de cette orbite sur le plan fixe, et la longitude de son nœud ascendant sur le même plan, il suffira d’ajouter à $\delta s$ la quantité $\operatorname {tang} \varphi \sin(v'-\theta )$ ou $\operatorname {tang} \varphi \sin(nt+\varepsilon -\theta ),$ en négligeant l’excentricité de l’orbite. Nommons $\varphi '$ et $\theta '$ ce que deviennent $\varphi$ et $\theta$ relativement à $m'.$ Si $m$ était en mouvement sur l’orbite primitive de $m',$ la tangente de sa latitude serait $\operatorname {tang} \varphi '\sin(nt+\varepsilon -\theta ')\,;$ elle serait $\operatorname {tang} \varphi \sin(nt+\varepsilon -\theta ),$ si $m$ continuait de se mouvoir sur son orbite primitive. La différence de ces deux tangentes est à très-peu près la tangente de la latitude de $m$ au-dessus du plan de son orbite primitive, en le supposant mû sur le plan de l’orbite primitive de $m'$ ; on a donc

$\operatorname {tang} \varphi '\sin(nt+\varepsilon -\theta ')-\operatorname {tang} \varphi \sin(nt+\varepsilon -\theta )=\gamma \sin(nt+\varepsilon -\Pi ).$

Soit

${\begin{aligned}\operatorname {tang} \varphi \sin \theta &=p,&\qquad \operatorname {tang} \varphi '\sin \theta '&=p',\\\operatorname {tang} \varphi \cos \theta &=q,&\qquad \operatorname {tang} \varphi '\cos \theta '&=q'\,;\end{aligned}}$

on aura

$\gamma \sin \Pi =p'-p,\qquad \gamma \cos \Pi =q'-q,$

et par conséquent, si l’on désigne par $s$ la latitude de $m$ au-dessus du