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La distance projetée $\rho$ de la comète à la Terre étant toujours positive, cette équation fait voir que la distance $r$ de la comète au Soleil est plus petite ou plus grande que la distance ${\rm {R}}$ du Soleil à la Terre, suivant que $\mu '$ est positif ou négatif ; ces deux distances sont égales, si $\mu '=0.$

On peut, par l’inspection seule d’un globe céleste, déterminer le signe de $\mu ',$ et, par conséquent, si la comète est plus près ou plus loin que la Terre du Soleil. Pour cela, imaginons un grand cercle qui passe par deux positions géocentriques et infiniment voisines de la comète. Soit $\gamma$ l’inclinaison de ce cercle à l’écliptique, et $\lambda$ la longitude de son nœud ascendant ; on aura

$\operatorname {tang} \gamma \sin(\alpha -\lambda )=\operatorname {tang} \theta ,$

d’où l’on tire

$d\theta \sin(\alpha -\lambda )=d\alpha \sin \theta \cos \theta \cos(\alpha -\lambda )\,;$

en différentiant encore, on aura

$0=\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)\left({\frac {d^{2}\theta _{1}}{dt^{2}}}\right)-\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)\left({\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\right)+2\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}\operatorname {tang} \theta$

$+\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}\sin \theta \cos \theta ,$

étant la valeur de $d^{2}\theta$ qui aurait lieu si le mouvement apparent de la comète continuait dans le grand cercle. La valeur de $\mu '$ devient ainsi, en y substituant pour $d\theta$ sa valeur ${\frac {d\alpha \sin \theta \cos \theta \cos(\alpha -\lambda )}{\sin(\alpha -\lambda )}},$

$\mu '={\frac {\left[\left({\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\right)-\left({\frac {d^{2}\theta _{1}}{dt^{2}}}\right)\right]\sin(\alpha -\lambda )}{\sin \theta \cos \theta \sin(\mathrm {A} -\lambda )}}.$

La fonction ${\frac {\sin(\alpha -\lambda )}{\sin \theta \cos \theta }}$ est constamment positive ; la valeur de $\mu '$ est donc positive ou négative, suivant que $\left({\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\right)-\left({\frac {d^{2}\theta _{1}}{dt^{2}}}\right)$ est de même signe ou d’un signe contraire à $\sin(\mathrm {A} s-\lambda )\,;$ or $\mathrm {A} -\lambda$ est égal à deux angles droits, plus à la distance du Soleil au nœud ascendant du grand cercle ; d’où il est facile de conclure que $\mu '$ sera positif ou négatif, suivant que dans une troisième position géocentrique de la comète, infiniment voisine des deux premières, la comète s’écartera du grand cercle du même