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Si l’on ajoute la première de ces équations, multipliée par $-y,$ à la seconde, multipliée par $x,$ on aura

$0={\frac {d(xdy-ydx)}{dt^{2}}}+x\mathrm {Q} -y\mathrm {P} .$

Il est aisé de voir que $xdy-ydx$ est le double de l’aire que le rayon vecteur de la planète décrit autour du Soleil dans l’instant $dt$ ; cette aire est proportionnelle à l’élément du temps, suivant la première loi de Kepler, en sorte que l’on

$xdy-ydx=cdt,$

$c$ étant une constante ; la différentielle du premier membre de cette équation est donc nulle, ce qui donne

$x\mathrm {Q} -y\mathrm {P} =0.$

Il suit de là que les forces ${\rm {P}}$ et ${\rm {Q}}$ sont entre elles dans le rapport de $x$ à $y,$ et qu’ainsi leur résultante passe par l’origine des coordonnées, c’est-à-dire par le centre du Soleil. D’ailleurs, la courbe décrite par la planète étant concave vers le Soleil, il est visible que la force qui la fait décrire tend vers cet astre.

La loi des aires proportionnelles aux temps employés à les décrire nous conduit donc à ce premier résultat remarquable, savoir, que la force qui sollicite les planètes et les comètes est dirigée vers le centre du Soleil.

2. Déterminons maintenant la loi suivant laquelle cette force agit à différentes distances de cet astre. Il est clair que, les planètes et les comètes s’approchant et s’éloignant alternativement du Soleil à chaque révolution, la nature du mouvement elliptique doit nous conduire à cette loi. Reprenons, dans cette vue, les équations différentielles (1) et (2) du numéro précédent. Si l’on ajoute la première, multipliée par $dx,$ à la seconde, multipliée par $dy,$ on aura

$0={\frac {dxd^{2}x+dyd^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy,$