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vergente ; mais, avant que de faire cette substitution, nous observerons que l’on a, par le n^o 20, $n=a^{-{\frac {3}{2}}}{\sqrt {\mu }},$ et, comme $\mathrm {D} =\alpha a,$ on aura

${\frac {1}{n}}={\frac {\mathrm {D} ^{\frac {3}{2}}}{\alpha ^{\frac {3}{2}}{\sqrt {\mu }}}}.$

On trouvera, cela posé,

$t={\frac {2\mathrm {D} ^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {(2-\alpha )\mu }}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v\times$

$\left[1+{\frac {{\frac {2}{3}}-\alpha }{2-\alpha }}\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v-{\frac {\left({\frac {4}{5}}-\alpha \right)\alpha }{(2-\alpha )^{2}}}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {1}{2}}v+\ldots \right].$

Si l’orbite est parabolique, $\alpha =0,$ et par conséquent

$r={\frac {\mathrm {D} }{\cos ^{2}{\frac {1}{2}}v}},$

$t={\frac {\mathrm {D} ^{\frac {3}{2}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\mu }}}\left(\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v+{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v\right).$

Le temps $t,$ la distance ${\rm {D}}$ et la somme $\mu$ des masses du Soleil et de la comète sont des quantités hétérogènes qui, pour être comparables, doivent être divisées chacune par des unités de leur espèce. Nous supposerons donc que la moyenne distance du Soleil à la Terre est l’unité de distance, en sorte que ${\rm {D}}$ est exprimé en parties de cette distance. Nous observerons ensuite que, si l’on nomme ${\rm {T}}$ le temps d’une révolution sidérale de la Terre, que nous supposerons partir du périhélie, on aura, dans l’équation

$nt=u-e\sin u,$

$u=0$ au commencement de la révolution, et $u=2\pi$ à la fin, $\pi$ étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité ; on aura donc $n\mathrm {T} =2\pi \,;$ mais on a $n=a^{-{\frac {3}{2}}}{\sqrt {\mu }}={\sqrt {\mu }},$ à cause de $a=1$ ; partant

${\sqrt {\mu }}={\frac {2\pi }{\mathrm {T} }}.$

La valeur de $\mu$ n’est pas exactement la même pour la Terre que pour