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Considérons présentement la troisième des équations (f) du n^o 20 ; elle donne

${\frac {\sin {\frac {1}{2}}v}{\cos {\frac {1}{2}}v}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}{\frac {\sin {\frac {1}{2}}u}{\cos {\frac {1}{2}}u}}.$

En substituant dans cette équation, au lieu des sinus et des cosinus, leurs valeurs en exponentielles imaginaires, on aura

${\frac {c^{v{\sqrt {-1}}}-1}{c^{v{\sqrt {-1}}}+1}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}{\frac {c^{u{\sqrt {-1}}}-1}{c^{u{\sqrt {-1}}}+1}}\,;$

en supposant donc

$\lambda ={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}},$

on aura

$c^{v{\sqrt {-1}}}=c^{u{\sqrt {-1}}}{\frac {1-\lambda c^{-u{\sqrt {-1}}}}{1-\lambda c^{u{\sqrt {-1}}}}},$

et par conséquent

$v=u+{\frac {\operatorname {\log } \left(1-\lambda c^{-u{\sqrt {-1}}}\right)-\operatorname {\log } \left(1-\lambda c^{u{\sqrt {-1}}}\right)}{\sqrt {-1}}}\,;$

d’où l’on tire, en réduisant les logarithmes en séries,

$v=u+2\lambda \sin u+{\frac {2\lambda ^{2}}{2}}\sin 2u+{\frac {2\lambda ^{3}}{3}}\sin 3u+{\frac {2\lambda ^{4}}{4}}\sin 4u+\ldots$

On aura, par ce qui précède, $u,\sin u,\sin 2u,\ldots ,$ en séries ordonnées par rapport aux puissances de $e,$ et développées en sinus et cosinus de l’angle $nt$ et de ses multiples ; il ne s’agit donc, pour avoir $v$ exprimé dans une suite semblable, que de développer les puissances successives de $\lambda$ en séries ordonnées par rapport aux puissances de $e.$

L’équation $u=2-{\frac {e^{2}}{u}}$ donnera, par la formule (p) du numéro précédent,

${\frac {1}{u^{i}}}={\frac {1}{2^{i}}}+{\frac {ie^{2}}{2^{i+2}}}+{\frac {i(i+3)}{1.2}}{\frac {e^{4}}{2^{i+4}}}+{\frac {i(i+3)(i+5)}{1.2.3}}{\frac {e^{6}}{2^{i+6}}}+\ldots$