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$h$ étant une nouvelle arbitraire. Cette intégrale renferme le principe de la conservation des forces vives, exposé dans le Chapitre V du premier Livre.

Les sept intégrales précédentes sont les seules intégrales rigoureuses que l’on a pu obtenir jusqu’à présent : dans le cas où le système n’est composé que de deux corps, elles réduisent la détermination de leurs mouvements à des équations différentielles du premier ordre, que l’on peut intégrer, comme on le verra dans la suite ; mais, lorsque le système est formé de trois ou d’un plus grand nombre de corps, il faut nécessairement recourir aux méthodes d’approximation. 9. Comme on ne peut observer que des mouvements relatifs, on rapporte les mouvements des planètes et des comètes au centre du Soleil, et les mouvements des satellites au centre de leurs planètes. Ainsi, pour comparer la théorie aux observations, il faut déterminer le mouvement relatif d’un système de corps autour d’un corps considéré comme le centre de leurs mouvements.

Soit ${\rm {M}}$ ce dernier corps, $m,m',m'',\ldots$ étant les autres corps dont on cherche le mouvement relatif autour de ${\rm {M}}$ ; soient $\zeta ,\Pi$ et $\gamma$ les coordonnées rec\operatorname{tang}les de $\mathrm {M} \,;\ \zeta +x,\Pi +y,\gamma +z$ celles de $m\,;\ \zeta +x',\Pi +y',\gamma +z'$</math> celles de $m',$ etc.; il est visible que $x,y,z$ seront les coordonnées de $m$ par rapport à $\mathrm {M} ;$ que $x',y',z'$ seront celles de $m'$ par rapport au même corps, et ainsi du reste. Nommons $r,r',\ldots ,$ les distances de $m,m',\ldots$ au corps $\mathrm {M} ,$ en sorte que

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\qquad r'={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}},\ldots ,$

et supposons

${\begin{aligned}\lambda &={\frac {mm'}{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}}}\\\\&+{\frac {mm''}{\sqrt {(x''-x)^{2}+(y''-y)^{2}+(z''-z)^{2}}}}\\\\&+{\frac {m'm''}{\sqrt {(x''-x')^{2}+(y''-y')^{2}+(z''-z')^{2}}}}+\ldots \end{aligned}}$