La seconde deviendra
![{\displaystyle r=a'\left[{\frac {1}{2}}e(c^{u'}+c^{-u'}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c86d40941902b7d37bfff7fca4e9b2eff24d3690)
enfin, si l’on prend convenablement le signe du radical de la troisième équation pour que
croisse avec
et, par conséquent, avec
on aura
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}{\frac {c^{u'}-1}{c^{u'+1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c340bf71e76aee58145898848d5edb2daf43289b)
Supposons dans ces formules
étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité, et le logarithme précédent étant hyperbolique ; on aura
![{\displaystyle {\frac {t{\sqrt {\mu }}}{a'^{\frac {3}{2}}}}=e\operatorname {tang} \varpi -\log \operatorname {tang} \left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {1}{2}}\varpi \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ede68ca0fdccec983d5b634dc7c7873a06351608)
![{\displaystyle r=a'\left({\frac {e}{\cos \varpi }}-1\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c47d291bdd33fabef8b95f773377534dea814972)
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d1db842ccd0c7290d64b44394ce6b5ca7bdf97)
L’arc
est le moyen mouvement angulaire durant le temps
du corps
supposé mû circulairement autour de
à la distance
Cet arc est facile à déterminer, en le réduisant en parties du rayon : la première des équations précédentes donnera par des essais la valeur de l’angle
correspondante au temps
; les deux autres équations donneront ensuite les valeurs correspondantes de
et de ![{\displaystyle v.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb7b87f7afb1452b9d0e287f8ef746a9912c8333)
25.
exprimant la révolution sidérale d’une planète dont
est la moyenne distance au Soleil, la première des équations (f) du no 20 donnera
; mais on a par le même numéro
on aura donc
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {2\pi a^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {\mu }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ceb823a0323e4c42462c9ff8550cf9152f2f0fd)
Si l’on néglige les masses des planètes par rapport à celle du Soleil,