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leurs valeurs déterminées dans le n^o 50, on aura

${\begin{aligned}(0,\ 1)&=-{\frac {m'n}{2}}\left(a^{2}{\frac {\partial {\rm {A}}^{(0)}}{\partial a}}+{\frac {1}{2}}a^{3}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(0)}}{\partial a^{2}}}\right),\\\\{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}&={\frac {m'n}{2}}\left(a{\rm {A}}^{(1)}-a^{2}{\frac {\partial {\rm {A}}^{(1)}}{\partial a}}-{\frac {1}{2}}a^{3}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(1)}}{\partial a^{2}}}\right).\end{aligned}}$

On a, par le n^o 49,

$a^{2}{\frac {\partial {\rm {A}}^{(0)}}{\partial a}}+{\frac {1}{2}}a^{3}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(0)}}{\partial a^{2}}}=-\alpha ^{2}{\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(0)}}{d\alpha }}-{\frac {1}{2}}\alpha ^{3}{\frac {d^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(0)}}{d\alpha ^{2}}}\,;$

on obtiendra facilement, par le même numéro, ${\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(0)}}{d\alpha }}$ et ${\frac {d^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(0)}}{d\alpha ^{2}}}$ en fonctions de $b_{\frac {1}{2}}^{(0)}$ et de $b_{\frac {1}{2}}^{(1)},$ et ces quantités sont données en fonctions linéaires de $b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}$ et de $b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}\,;$ on trouvera, cela posé,

$a^{2}{\frac {\partial {\rm {A}}^{(0)}}{\partial a}}+{\frac {1}{2}}a^{3}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(0)}}{\partial a^{2}}}={\frac {3\alpha ^{2}b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{2\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}\,;$

partant

$(0,\ 1)=-{\frac {3m'n\alpha ^{2}b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{4\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}.$

Soit

$\left(a^{2}-2aa'\cos \theta +a'^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=(a,a')+(a,a')'\cos \theta +(a,a')''\cos 2\theta +\ldots \,;$

on aura, par le n^o 49,

$(a,a')={\frac {1}{2}}a'b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)},\qquad (a,a')'=b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)},\ldots \,;$

on aura donc

$(0,\ 1)=-{\frac {3m'na^{2}a'(a,a')'}{4\left(a'^{2}-a^{2}\right)^{2}}}.$

On a ensuite, par le n^o 49,

$a{\rm {A}}^{(1)}-a^{2}{\frac {\partial {\rm {A}}^{(1)}}{\partial a}}-{\frac {1}{2}}a^{3}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(1)}}{\partial a^{2}}}=-\alpha \left(b_{\frac {1}{2}}^{(1)}-\alpha {\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(1)}}{d\alpha }}-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}{\frac {d^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(1)}}{d\alpha ^{2}}}\right)\,;$