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une fonction de $t$ ; on substituera cette valeur de $x$ dans $z$ et dans u. Soient ${\rm {Z}}$ et $\mathrm {u}$ ce que deviennent alors ces quantités ; on aura, dans la supposition de $\alpha =0,$

${\frac {\partial ^{n}u}{\partial \alpha ^{n}}}={\frac {d^{n-1}.\mathrm {Z} ^{n}{\frac {du}{dt}}}{dt^{n-1}}},$

et par conséquent on aura, par ce qui précède,

$q_{n}={\frac {d^{n-1}.\mathrm {Z} ^{n}{\frac {du}{dt}}}{1.2.3\ldots dt^{n-1}}},$

ce qui donne

(p)

$u=\mathrm {u} +\alpha Z{\frac {du}{dt}}+{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}{\frac {dZ^{2}{\frac {du}{dt}}}{dt}}+{\frac {\alpha ^{3}}{1.2.3}}{\frac {d^{2}Z^{3}{\frac {du}{dt}}}{dt^{2}}}+\ldots$

Il ne s’agit plus maintenant que de déterminer la fonction de $t$ et de $\alpha$ que $x$ représente, en intégrant l’équation aux différences partielles ${\frac {\partial x}{\partial \alpha }}=z{\frac {\partial x}{\partial t}}.$ Pour cela, on observera que

$dx={\frac {\partial x}{\partial t}}dt+{\frac {\partial x}{\partial \alpha }}d\alpha \,;$

en substituant, au lieu de ${\frac {\partial x}{\partial \alpha }},$ sa valeur $z{\frac {\partial x}{\partial t}},$ on aura

$dx={\frac {\partial x}{\partial t}}(dt+zd\alpha )={\frac {\partial x}{\partial t}}\left[d(t+\alpha z)-\alpha {\frac {\partial z}{\partial x}}dx\right]\,;$

on aura donc

$dx={\frac {{\frac {\partial x}{\partial t}}d(t+\alpha z)}{1+\alpha {\frac {\partial z}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}}},$

ce qui donne, en intégrant, $x=\varphi (t+\alpha z),\ \varphi (t+\alpha z)$ étant une fonction arbitraire de $t+\alpha z,$ en sorte que la quantité que nous avons nommée ${\rm {T}}$ est égale à $\varphi (t).$ Ainsi, toutes les fois que l’on aura entre $x$ et $\alpha$ une équation réductible à cette forme $x=\varphi (t+\alpha z),$ la valeur