une fonction de
; on substituera cette valeur de
dans
et dans u. Soient
et
ce que deviennent alors ces quantités ; on aura, dans la supposition de ![{\displaystyle \alpha =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a4ec9c2dc0e4e0d05eb056027a9e4ba6b421f4f)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{n}u}{\partial \alpha ^{n}}}={\frac {d^{n-1}.\mathrm {Z} ^{n}{\frac {du}{dt}}}{dt^{n-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb3748cbd21347b34545c212dbd0ea9b97456c9b)
et par conséquent on aura, par ce qui précède,
![{\displaystyle q_{n}={\frac {d^{n-1}.\mathrm {Z} ^{n}{\frac {du}{dt}}}{1.2.3\ldots dt^{n-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555d1cff2b4dfd3508e3f6176a3f72dc5b3e75cd)
ce qui donne
(p)
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Il ne s’agit plus maintenant que de déterminer la fonction de
et de
que
représente, en intégrant l’équation aux différences partielles
Pour cela, on observera que
![{\displaystyle dx={\frac {\partial x}{\partial t}}dt+{\frac {\partial x}{\partial \alpha }}d\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e18ffd97bdfcbeb3bb91b7128b57d3a622ec39d)
en substituant, au lieu de
sa valeur
on aura
![{\displaystyle dx={\frac {\partial x}{\partial t}}(dt+zd\alpha )={\frac {\partial x}{\partial t}}\left[d(t+\alpha z)-\alpha {\frac {\partial z}{\partial x}}dx\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d66a35727ae5834ad7d7c94ec4b96159c9f379)
on aura donc
![{\displaystyle dx={\frac {{\frac {\partial x}{\partial t}}d(t+\alpha z)}{1+\alpha {\frac {\partial z}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ce79489caf53e9c024c1d91da789069963eeb0c)
ce qui donne, en intégrant,
étant une fonction arbitraire de
en sorte que la quantité que nous avons nommée
est égale à
Ainsi, toutes les fois que l’on aura entre
et
une équation réductible à cette forme
la valeur