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on a donc ainsi les trois équations suivantes :

${\begin{aligned}\mathrm {R} &=2a(1-e\cos {\text{ϐ}}\cos {\text{ϐ}}'),\\\scriptstyle {\mathrm {T} }&=2a^{\frac {3}{2}}({\text{ϐ}}-e\sin {\text{ϐ}}\cos {\text{ϐ}}'),\\c^{2}&=4a^{2}\sin ^{2}{\text{ϐ}}(1-e^{2}\cos ^{2}{\text{ϐ}}').\end{aligned}}$

La première de ces équations donne

$e\cos {\text{ϐ}}'={\frac {2a-\mathrm {R} }{2a\cos {\text{ϐ}}}}\,;$

en substituant cette valeur de $e\cos {\text{ϐ}}'$ dans les deux autres, on aura

${\begin{aligned}\scriptstyle {\mathrm {T} }&=2a^{\frac {3}{2}}\left({\text{ϐ}}-{\frac {\mathrm {R} -2a}{2a}}\operatorname {tang} {\text{ϐ}}\right),\\\\c^{2}&=4a^{2}\operatorname {tang} ^{2}{\text{ϐ}}\left[\cos ^{2}{\text{ϐ}}-\left({\frac {2a-\mathrm {R} }{2a}}\right)^{2}\right].\end{aligned}}$

Ces deux équations ne renferment point l’excentricité $e,$ et, si dans la première on substitue au lieu de ϐ sa valeur donnée par la seconde, on aura $\scriptstyle {\mathrm {T} }$ en fonction de $c,\mathrm {R}$ et $a.$ On voit ainsi que le temps $\scriptstyle {\mathrm {T} }$ ne dépend que du demi-grand axe, de la corde $c$ et de la somme ${\rm {R}}$ des rayons vecteurs extrêmes.

Si l’on fait

$z={\frac {2a-\mathrm {R} +c}{2a}},\qquad z'={\frac {2a-\mathrm {R} -c}{2a}},$

la dernière des équations précédentes donnera

$\cos 2{\text{ϐ}}=zz'+{\sqrt {\left(1-z^{2}\right)\left(1-z'^{2}\right)}},$

d’où l’on tire

$2{\text{ϐ}}=\operatorname {arc\,\cos } z'-\operatorname {arc\,\cos } z,$

$\operatorname {arc\,\cos } z$ désignant ici l’arc qui a $z$ pour cosinus ; on a par conséquent

$\operatorname {tang} {\text{ϐ}}={\frac {\sin(\operatorname {arc} \cos z')-\sin(\operatorname {arc\,\cos } z)}{z+z'}}\,;$

on a ensuite $z+z'={\frac {2a-R}{a}}\,;$ l’expression de $\scriptstyle {\mathrm {T} }$ deviendra donc, en