est la longitude vraie de la planète, et
est sa longitude moyenne, ces deux longitudes étant rapportées au plan de l’orbite.
Rapportons maintenant le mouvement de la planète à un plan fixe, peu incliné à celui de l’orbite. Soit
l’inclinaison mutuelle de ces deux plans, et
la longitude du nœud ascendant de l’orbite, comptée sur le plan fixe ; soit ϐ cette longitude comptée sur le plan de l’orbite, en sorte que
soit la projection de ϐ ; soit encore
la projection de
sur le plan fixe. On aura
![{\displaystyle \operatorname {tang} (v_{1}-\theta )=\cos \varphi \operatorname {tang} (v-{\text{ϐ}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50deab1861b49d039d4f50e61368be691ac3fdea)
Cette équation donne
en
et réciproquement ; mais on peut avoir ces deux angles l’un par l’autre, en séries fort convergentes, de cette manière.
On a conclu précédemment la série
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}v={\frac {1}{2}}u+\lambda \sin u+{\frac {\lambda ^{2}}{2}}\sin 2u+{\frac {\lambda ^{3}}{3}}\sin 3u+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/557ce7a3793db9a4747bd9f1f58a243bcc9a2ca2)
de l’équation
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90abd15a8ff006e5106ac3b194b0a2364acaa42a)
en faisant
![{\displaystyle \lambda ={\frac {{\sqrt {\cfrac {1+e}{1-e}}}-1}{{\sqrt {\cfrac {1+e}{1-e}}}+1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9878e7b07696a7a6c0d914f28612676119721d)
Si l’on change
en
en
et
en
on aura
![{\displaystyle \lambda ={\frac {\cos \varphi -1}{\cos \varphi +1}}=-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\varphi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f96537aac6a1f32fc945d97a78f4ca6c02e6ba17)
l’équation entre
et
se changera dans l’équation entre
et
et la série précédente donnera
![{\displaystyle v_{1}-\theta =v-{\text{ϐ}}-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\varphi \sin 2(v-{\text{ϐ}})++{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {1}{2}}\varphi \sin 4(v-{\text{ϐ}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9e3fcc6f31cbdf84957c7fcf54dfe47848fa612)
![{\displaystyle -{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{6}{\frac {1}{2}}\varphi \sin 6(v-{\text{ϐ}})+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be83dc95597bccc0d917a92a816562e8b35b7534)
Si dans l’équation entre
et
on change
en
en
et
en
on aura
![{\displaystyle \lambda =\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/951bcedd7e7f60fb951623e686296baa940bc8f2)