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$v$ est la longitude vraie de la planète, et $nt+\varepsilon$ est sa longitude moyenne, ces deux longitudes étant rapportées au plan de l’orbite.

Rapportons maintenant le mouvement de la planète à un plan fixe, peu incliné à celui de l’orbite. Soit $\varphi$ l’inclinaison mutuelle de ces deux plans, et $\theta$ la longitude du nœud ascendant de l’orbite, comptée sur le plan fixe ; soit ϐ cette longitude comptée sur le plan de l’orbite, en sorte que $\theta$ soit la projection de ϐ ; soit encore $v_{1}$ la projection de $v$ sur le plan fixe. On aura

$\operatorname {tang} (v_{1}-\theta )=\cos \varphi \operatorname {tang} (v-{\text{ϐ}}).$

Cette équation donne $v_{1}$ en $v,$ et réciproquement ; mais on peut avoir ces deux angles l’un par l’autre, en séries fort convergentes, de cette manière.

On a conclu précédemment la série

${\frac {1}{2}}v={\frac {1}{2}}u+\lambda \sin u+{\frac {\lambda ^{2}}{2}}\sin 2u+{\frac {\lambda ^{3}}{3}}\sin 3u+\ldots$

de l’équation

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u,$

en faisant

$\lambda ={\frac {{\sqrt {\cfrac {1+e}{1-e}}}-1}{{\sqrt {\cfrac {1+e}{1-e}}}+1}}.$

Si l’on change ${\frac {1}{2}}v$ en $v_{1}-\theta ,\ {\frac {1}{2}}u$ en $v-{\text{ϐ}},$ et ${\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}$ en $\cos \varphi ,$ on aura

$\lambda ={\frac {\cos \varphi -1}{\cos \varphi +1}}=-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\varphi \,;$

l’équation entre ${\frac {1}{2}}v$ et ${\frac {1}{2}}u$ se changera dans l’équation entre $v_{1}-\theta$ et $v-{\text{ϐ}},$ et la série précédente donnera

$v_{1}-\theta =v-{\text{ϐ}}-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\varphi \sin 2(v-{\text{ϐ}})++{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {1}{2}}\varphi \sin 4(v-{\text{ϐ}})$

$-{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{6}{\frac {1}{2}}\varphi \sin 6(v-{\text{ϐ}})+\ldots$

Si dans l’équation entre ${\frac {1}{2}}v$ et ${\frac {1}{2}}u$ on change ${\frac {1}{2}}v$ en $v-{\text{ϐ}},\ {\frac {1}{2}}u$ en $v_{1}-\theta$ et ${\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}$ en ${\frac {1}{\cos \varphi }},$ on aura

$\lambda =\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\varphi ,$