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projection sur le plan fixe, de la longitude rapportée soit sur le plan fixe, soit sur l’orbite, et de la latitude, que nous avons données dans le n^o 22 pour le cas de l’ellipse invariable, ont également lieu dans le cas de l’ellipse troublée, pourvu que l’on y change $nt$ en $\int ndt,$ et que l’on détermine les éléments de l’ellipse variable par les formules précédentes. Car, puisque les équations finies entre $r,v,s,x,y,z$ et $\int ndt,$ sont les mêmes dans les deux cas, et que les expressions en séries du n^o 22 résultent de ces équations par des opérations analytiques entièrement indépendantes de la constance ou de la variabilité des éléments, il est clair que ces expressions ont encore lieu dans le cas des éléments variables.

Lorsque les ellipses sont fort excentriques, telles que les orbites des comètes, il faut changer un peu l’analyse précédente. L’inclinaison $\varphi$ de l’orbite sur le plan fixe, la longitude $\theta$ de son nœud ascendant, le demi-grand axe $a,$ le demi-paramètre $a\left(1-e^{2}\right),$ l’excentricité $e$ et la longitude ${\rm {I}}$ du périhélie sur le plan fixe pourront être déterminés par ce qui précède. Mais, les valeurs de $\varpi$ et de $d\varpi$ étant données en séries ordonnées par rapport aux puissances de $\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\varphi ,$ il faut, pour les rendre convergentes, choisir le plan fixe de manière que $\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\varphi$ soit peu considérable, et ce qu’il y a de plus simple pour cet objet consiste à prendre pour plan fixe celui de l’orbite de $m$ à une époque donnée. La valeur précédente de $d\varepsilon$ est exprimée par une série qui n’est convergente que dans le cas où l’excentricité de l’orbite est peu considérable ; on ne peut donc pas l’employer dans le cas présent. Pour y suppléer, reprenons l’équation

${\frac {dt{\sqrt {\mu }}}{a^{\frac {3}{2}}}}={\frac {dv\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{\left[1+e\cos(v-\varpi )\right]^{2}}}.$

Si l’on fait $1-e=\alpha ,$ on a par l’analyse du n^o 23, dans le cas de l’ellipse invariable,

$t+{\rm {T}}={\frac {2a^{\frac {3}{2}}\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{(2-\alpha )^{2}{\sqrt {\mu }}}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}(v-\varpi )\left[1+{\frac {{\frac {2}{3}}-\alpha }{2-\alpha }}\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}(v-\varpi )+\ldots \right],$