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des planètes dans des cercles différents sont réciproques aux racines carrées de leurs rayons.

Dans la parabole, $a=\infty ,$ partant $\mathrm {V} =\mathrm {U} {\sqrt {\frac {2}{r}}}\,;$ les vitesses dans les différents points de l’orbite sont donc alors réciproques aux racines carrées des rayons vecteurs, et la vitesse à chaque point est à celle qu’aurait la planète, si elle décrivait un cercle d’un rayon égal au rayon vecteur $r$, comme ${\sqrt {2}}:1.$

Une ellipse infiniment aplatie se change en ligne droite, et dans ce cas ${\rm {V}}$ exprime la vitesse de $m,$ s’il descendait en ligne droite vers $\mathrm {M} .$ Supposons que $m$ parte de l’état du repos, et que sa distance primitive à ${\rm {M}}$ soit $r$ ; supposons de plus que, parvenu à la distance $r',$ il ait acquis la vitesse ${\rm {V}}$ ; l’expression précédente de la vitesse donnera les deux équations suivantes :

$0={\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}},\qquad \mathrm {V} '^{2}=\mathrm {U} ^{2}\left({\frac {2}{r'}}-{\frac {1}{a}}\right),$

d’où l’on tire

$V'=U{\sqrt {\frac {2(r-r')}{rr'}}}\,;$

c’est l’expression de la vitesse relative acquise par $m$, en partant de la distance $r$ et en tombant vers ${\rm {M}}$ de la hauteur $r-r'.$ On déterminera facilement, au moyen de cette formule, de quelle hauteur le corps $m,$ mû dans une section conique, devrait tomber vers $\mathrm {M} ,$ pour acquérir, en partant de l’extrémité du rayon vecteur $r$, une vitesse relative égale à celle qu’il a à cette extrémité ; car, ${\rm {V}}$ étant cette dernière vitesse, on a

$\mathrm {V} ^{2}=\mathrm {U} ^{2}\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)\,;$

mais le carré de la vitesse acquise en tombant de la hauteur $r-r'$ est $2\mathrm {U} ^{2}{\frac {r-r'}{rr'}}\,;$ en égalant ces deux expressions, on aura donc

$r-r'={\frac {r(2a-r)}{4a-r}}.$