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tres lois d’attraction. Pour cela, nous observerons que, si la loi de la pesanteur est telle qu’une sphère homogène attire un point placé au dehors comme si toute sa masse était réunie à son centre, le même résultat doit avoir lieu pour une couche sphérique d’une épaisseur constante ; car, si l’on enlève à une sphère une couche sphérique d’une épaisseur constante, on formera une nouvelle sphère d’un plus petit rayon, mais qui aura, ainsi que la première, la propriété d’attirer comme si toute sa masse était réunie à son centre ; or il est évident que ces deux sphères ne peuvent avoir cette propriété commune qu’autant qu’elle l’est encore à la couche sphérique qui forme leur différence. Le problème se réduit donc à déterminer les lois d’attraction suivant lesquelles une couche sphérique d’une épaisseur infiniment petite et constante attire un point extérieur comme si toute sa masse était réunie à son centre.

Soit $r$ la distance du point attiré au centre de la couche sphérique, $u$ le rayon de cette couche, et $du$ son épaisseur. Soit $\theta$ l’angle que le rayon $u$ fait avec la droite $r,\varpi$ l’angle que le plan qui passe par les deux droites $r$ et $u$ fait avec un plan fixe passant par la droite $r$ ; l’élément de la couche sphérique sera $u^{2}dud\varpi d\theta \sin \theta .$ Si l’on nomme ensuite $f$ la distance de cet élément au point attiré, on aura

$f^{2}=r^{2}-2ru\cos \theta +u^{2}.$

Représentons par $\varphi (f)$ la loi de l’attraction à la distance $f$ ; l’action de l’élément de la couche sur le point attiré, décomposée parallèlement à $r$ et dirigée vers le centre de la couche, sera

$u^{2}dud\varpi d\theta \sin \theta ={\frac {r-u\cos \theta }{f}}\varphi (f)\,;$

mais on a

${\frac {r-u\cos \theta }{f}}={\frac {\partial f}{\partial r}},$

ce qui donne à la quantité précédente cette forme

$u^{2}dud\varpi d\theta \sin \theta {\frac {\partial f}{\partial r}}\varphi (f)\,;$