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nature du mouvement elliptique,

$\left({\frac {d\mathrm {A} }{dt}}\right)={\frac {\sqrt {1-\mathrm {E} ^{2}}}{\mathrm {R} ^{2}}},\qquad {\frac {1-\mathrm {E} ^{2}}{1+\mathrm {E} \cos(\mathrm {A-H} )}}.$

Ces deux équations donnent

$\left({\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\right)={\frac {\mathrm {E} \sin(\mathrm {A-H} )}{\sqrt {1-\mathrm {E} ^{2}}}}\,;$

soit $\mathrm {R} '$ le rayon vecteur de la Terre, correspondant à la longitude ${\rm {A}}$ de cette planète, augmentée d’un angle droit ; on aura

$\mathrm {R} '={\frac {1-\mathrm {E} ^{2}}{1-\mathrm {E} \sin(\mathrm {A-H} )}},$

d’où l’on tire

$\mathrm {E} \sin(\mathrm {A-H} )={\frac {\mathrm {R} '-1+\mathrm {E} ^{2}}{\mathrm {R} '}}\,;$

partant

$\left({\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\right)={\frac {\mathrm {R} '+\mathrm {E} ^{2}-1}{\mathrm {R} '{\sqrt {1-\mathrm {E} ^{2}}}}}.$

Si l’on néglige le carré de l’excentricité de l’orbite terrestre, qui est très-petit, on aura

$\left({\frac {d\mathrm {A} }{dt}}\right)={\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}},\qquad \left({\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\right)=\mathrm {R} '-1\,;$

les valeurs précédentes de $\left({\frac {dx}{dt}}\right)$ et $\left({\frac {dy}{dt}}\right)$ deviendront ainsi

${\begin{aligned}\left({\frac {dx}{dt}}\right)&=(\mathrm {R} '-1)\cos \mathrm {A} -{\frac {\sin \mathrm {A} }{\mathrm {R} }}+\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)\cos \alpha -\rho \left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)\sin \alpha ,\\\\\left({\frac {dy}{dt}}\right)&=(\mathrm {R} '-1)\sin \mathrm {A} +{\frac {\cos \mathrm {A} }{\mathrm {R} }}+\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)\sin \alpha +\rho \left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)\cos \alpha .\end{aligned}}$

s

${\rm {R,R'}}$ et ${\rm {A}}$ étant donnés immédiatement par les Tables du Soleil, le calcul des six quantités $x,y,z,\left({\frac {dx}{dt}}\right),\left({\frac {dy}{dt}}\right)$ et $\left({\frac {dz}{dt}}\right)$ sera facile, lorsque $\rho$ et $\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)$ seront connus. On en tirera les éléments de l’orbite de la comète, de cette manière.