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MÉCANIQUE CÉLESTE.

les valeurs dans le n° 15, on voit que les variations $\delta x,$ $\delta y,$ $\delta z$ disparaissent de ces expressions. Si le système est libre, c’est-à-dire, si aucune de ses parties n’a de liaison avec les corps étrangers, les conditions relatives à la liaison mutuelle des corps ne dépendant que de leurs distances mutuelles, les variations $\delta x,$ $\delta y,$ $\delta z$ seront indépendantes de ces conditions : d’où il suit qu’en substituant, au lieu de $\delta x',$ $\delta y',$ $\delta z',$ $\delta x'',\cdots ,$ leurs valeurs précédentes dans l’équation (P), on doit égaler séparément à zéro les coefficients des variations $\delta x,$ $\delta y,$ $\delta z\ ;$ ce qui donne les trois équations

$0=\sum m\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-\mathrm {P} \right),\quad 0=\sum m\left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-\mathrm {Q} \right),$

$0=\sum m\left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-\mathrm {R} \right).$

Supposons que ${\rm {X,Y,Z}}$ soient les trois coordonnées du centre de gravité du système ; on aura, par le n^o 15,

$\mathrm {X} ={\frac {\sum mx}{\sum m}},\qquad \mathrm {Y} ={\frac {\sum my}{\sum m}},\qquad \mathrm {Z} ={\frac {\sum mz}{\sum m}}\;$

partant

$0={\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt^{2}}}-{\frac {\sum m\mathrm {P} }{\sum m}},\quad 0={\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{dt^{2}}}-{\frac {\sum m\mathrm {Q} }{\sum m}},\quad 0={\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt^{2}}}-{\frac {\sum m\mathrm {R} }{\sum m}}\;$

le centre de gravité du système se meut donc comme si, tous les corps $m,m',\cdots$ étant réunis à ce centre, on lui appliquait toutes les forces qui sollicitent le système.

Si le système n’est soumis qu’à l’action mutuelle des corps qui le composent et à leurs attractions réciproques, on aura

$0=\sum m\mathrm {P} ,\qquad 0=\sum m\mathrm {Q} ,\qquad 0=\sum m\mathrm {R} \;$

car, en exprimant par $p$ l’action réciproque de $m$ et de $m'$ quelle que soit sa nature, et désignant par $f$ la distance mutuelle de ces deux corps, on aura, en vertu de cette action seule,

${\begin{alignedat}{3}m\ \mathrm {P} \ &={\frac {p\left(x-x'\right)}{f}},&\qquad m\ \mathrm {Q} \ &={\frac {p\left(y-y'\right)}{f}},&\qquad m\ \mathrm {R} \ &={\frac {p\left(z-z'\right)}{f}},\\\\m'\mathrm {P} '&={\frac {p\left(x'-x\right)}{f}},&m'\mathrm {Q} '&={\frac {p\left(y'-y\right)}{f}},&m'\mathrm {R} '&={\frac {p\left(z'-z\right)}{f}},\end{alignedat}}$