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est très-petit, ont en même temps $\alpha ^{2}$ pour diviseur. Il est clair qu’en supposant $\alpha =0,$ il en résultera un terme multiplié par $t^{2},$ en sorte que ce second cas renferme le premier. Les termes qui ont $a^{2}$ pour diviseur ne peuvent évidemment résulter que d’une double intégration ; ils ne peuvent donc être produits que par la partie de $\delta r$ qui renferme le double signe intégral $int.$ Examinons d’abord le terme

${\frac {a\cos v\int ndt(r\sin v\int d{\rm {R}}}{\mu {\sqrt {1-e^{2}}}}}.$

Si l’on fixe l’origine de l’angle $v$ au périhélie, on a dans l’orbite elliptique, par le n^o 20,

$r={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos v}},$

et par conséquent

$\cos v={\frac {a\left(1-e^{2}\right)-r}{er}}.$

d’où l’on tire, en differentiant.

$r^{2}dv\sin v={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{e}}dr\,;$

mais on a, par le n^o 19,

$r^{2}dv=dt{\sqrt {\mu a\left(1-e^{2}\right)}}=a^{2}ndt{\sqrt {1-e^{2}}}\,;$

on aura donc

${\frac {andt.r\sin v}{\sqrt {1-e^{2}}}}={\frac {rdr}{e}}.$

Le terme ${\frac {2a\cos v\int ndt\left(r\sin v\int d{\rm {R}}\right)}{\mu {\sqrt {1-e^{2}}}}}$ deviendra ainsi

${\frac {2\cos v}{\mu e}}\int (rdr\int d{\rm {R}}),\quad$ou$\quad {\frac {\cos v}{\mu e}}\left(r^{2}\int d{\rm {R}}-\int r^{2}d{\rm {R}}\right).$

Il est visible que, cette dernière fonction ne renfermant plus de doubles intégrales, il ne peut en résulter aucun terme qui ait $\alpha ^{2}$ pour diviseur.