est très-petit, ont en même temps
pour diviseur. Il est clair qu’en supposant
il en résultera un terme multiplié par
en sorte que ce second cas renferme le premier. Les termes qui ont
pour diviseur ne peuvent évidemment résulter que d’une double intégration ; ils ne peuvent donc être produits que par la partie de
qui renferme le double signe intégral
Examinons d’abord le terme
![{\displaystyle {\frac {a\cos v\int ndt(r\sin v\int d{\rm {R}}}{\mu {\sqrt {1-e^{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10fecb9c970288bfd512988e3938cc46b9bf2cb5)
Si l’on fixe l’origine de l’angle
au périhélie, on a dans l’orbite elliptique, par le no 20,
![{\displaystyle r={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos v}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2d5b4fe99ee7f9a9f4f0f4bc3c6519aef74bf6b)
et par conséquent
![{\displaystyle \cos v={\frac {a\left(1-e^{2}\right)-r}{er}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/019beccfb942ac9d1290330afca316c66da7abf0)
d’où l’on tire, en differentiant.
![{\displaystyle r^{2}dv\sin v={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{e}}dr\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/399ddf188e493b9282cacc1fe537ce2ff31eb3f3)
mais on a, par le no 19,
![{\displaystyle r^{2}dv=dt{\sqrt {\mu a\left(1-e^{2}\right)}}=a^{2}ndt{\sqrt {1-e^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48e03acf632a382afa2077c335b973a6782c952c)
on aura donc
![{\displaystyle {\frac {andt.r\sin v}{\sqrt {1-e^{2}}}}={\frac {rdr}{e}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b19b4b3eb7235000681c9dc7042d8b955f61e74)
Le terme
deviendra ainsi
![{\displaystyle {\frac {2\cos v}{\mu e}}\int (rdr\int d{\rm {R}}),\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3f5a9a37996bbdc7e8899dfc4079575cd3d845)
ou
![{\displaystyle \quad {\frac {\cos v}{\mu e}}\left(r^{2}\int d{\rm {R}}-\int r^{2}d{\rm {R}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb616b4847a98235c3aea1cbb24c2ae2d59bb670)
Il est visible que, cette dernière fonction ne renfermant plus de doubles intégrales, il ne peut en résulter aucun terme qui ait
pour diviseur.