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En égalant séparément à zéro les coefficients des sinus et des cosinus semblables, on aura

${\begin{aligned}0&={\frac {dn}{d\theta }},\\\\0&={\frac {dh}{d\theta }}-l{\frac {d\varepsilon }{d\theta }}+{\frac {m'n}{2}}(l{\rm {C}}+l'{\rm {D}}),\\0&={\frac {dl}{d\theta }}+h{\frac {d\varepsilon }{d\theta }}-{\frac {m'n}{2}}(h{\rm {C}}+h'{\rm {D}}).\end{aligned}}$

Si l’on intègre ces équations, et si dans leurs intégrales on change $\theta$ en $t,$ on aura, par le n^o 43, les valeurs des arbitraires en fonctions de $t,$ et l’on pourra effacer les arcs de cercle des expressions de ${\frac {dv}{dt}}$ et de $r$ ; mais, au lieu de ce changement, on peut tout de suite changer en $t$ dans ces équations différentielles. La première de ces équations nous montre que $n$ est constant, et, comme l’arbitraire $a,$ de l’expression de $r,$ en dépend, en vertu de l’équation $n^{2}={\frac {1}{a^{3}}},\ a$ est pareillement constant. Les deux autres équations ne suffisent pas pour déterminer $h,l,\varepsilon .$ On aura une nouvelle équation, en observant que l’expression de ${\frac {dv}{dt}}$ donne, en l’intégrant, $\int ndt$ pour la valeur de la longitude moyenne de $m$ ; or nous avons supposé cette longitude égale à $nt+\varepsilon \,;$ on a donc $nt+\varepsilon =\int ndt,$ ce qui donne

$t{\frac {dn}{dt}}+{\frac {d\varepsilon }{dt}}=0,$

et, comme on a ${\frac {dn}{dt}}=0,$ on aura pareillement ${\frac {d\varepsilon }{dt}}=0.$ Ainsi les deux arbitraires $n$ et $\varepsilon$ sont constantes ; les arbitraires $h$ et $l$ seront par conséquent déterminées au moyen des équations différentielles

(1)

${\frac {dh}{dt}}=-{\frac {m'n}{2}}(l{\rm {C}}+l'{\rm {D}}),$

(2)

${\frac {dl}{dt}}={\frac {m'n}{2}}(h{\rm {C}}+h'{\rm {D}}).$