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Si l’on substitue dans ces équations, au lieu de ${\frac {dc}{dt}},{\frac {dc'}{dt}},{\frac {dc''}{dt}},$ leurs valeurs

$y{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}-x{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}},\quad z{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}-x{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}},\quad z{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}-y{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}},$

\end{align} </math>}}

et au lieu de ces dernières quantités leurs valeurs données dans le n^o 67 ; si l’on observe, de plus, que $s=\operatorname {tang} \varphi \sin(v-\theta ),$ on aur

${\begin{aligned}d\operatorname {tang} \varphi &={\frac {dt\operatorname {tang} \varphi \cos(v-\theta )}{c}}\left[r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}\sin(v-\theta )+{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}}\cos(v-\theta )\right]\\\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {\left(1+s^{2}\right)dt}{c}}\cos(v-\theta ){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}},\\\\d\theta \operatorname {tang} \varphi &={\frac {dt\operatorname {tang} \varphi \sin(v-\theta )}{c}}\left[r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}\sin(v-\theta )+{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}}\cos(v-\theta )\right]\\\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {\left(1+s^{2}\right)dt}{c}}\sin(v-\theta ){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}}.\end{aligned}}$

Ces deux équations différentielles détermineront directement l’inclinaison de l’orbite et le mouvement des nœuds. Elles donnent

$\sin(v-\theta )d\operatorname {tang} \varphi -d\theta \cos(v-\theta )\operatorname {tang} \varphi =0,$

équation qui peut se déduire encore de celle-ci, $s=\operatorname {tang} s\varphi \sin(v-\theta )\,;$ en effet, cette dernière équation étant finie, on peut, par le n^o 63, la différentier, soit en regardant $\varphi$ et $\theta$ comme constants, soit en les traitant comme variables, en sorte que sa différentielle prise en ne faisant varier que $\varphi$ et $\theta$ est nulle, d’où résulte l’équation différentielle précédente.

Supposons maintenant que le plan fixe soit extrêmement peu incliné à l’orbite de $m,$ en sorte que nous puissions négliger les carrés de $s$ et de $\operatorname {tang} \varphi$ ; on aura

${\begin{aligned}d\operatorname {tang} \varphi &=-{\frac {dt}{c}}\cos(v-\theta ){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}},\\d\theta \operatorname {tang} \varphi &=-{\frac {dt}{c}}\sin(v-\theta ){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}}\,;\end{aligned}}$

en faisant donc, comme précédemment,

$p=\operatorname {tang} \varphi \sin \theta ,\qquad q=\operatorname {tang} \varphi \cos \theta ,$