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varier avec $\alpha .$ Partant, si l’on suppose après les différentiations $\alpha =0$ dans l’expression de ${\frac {\partial ^{n}u}{\partial \alpha ^{n}}}$ on aura

$q_{n}={\frac {\frac {\partial ^{n}u}{\partial \alpha ^{n}}}{1.2.3\ldots n}}.$

Si $u$ est fonction des deux quantités $\alpha$ et $\alpha ',$ et que l’on propose de le développer par rapport aux puissances et aux produits de $\alpha$ et de $\alpha ',$ en représentant ainsi cette suite,

${\begin{array}{r}u=\mathrm {u} +\alpha q_{1{,}0}+\alpha ^{2}q_{2{,}0}+\ldots &\\+\alpha 'q_{0{,}1}+\alpha \alpha 'q_{1{,}1}+\ldots &\\+\alpha '^{2}q_{0{,}2}+\ldots &\\+\ldots &\\\end{array}}$

le coefficient $q_{n,n'}$ du produit $\alpha ^{n}\alpha '^{n'}$ sera pareillement égal à

${\frac {\frac {\partial ^{n+n'}u}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha '^{n'}}}{1.2.3\ldots n.1.2.3\ldots n'}},$

$\alpha$ et $\alpha '$ étant supposés nuls après les différentiations.

En général, si $u$ est fonction de $\alpha ,\alpha ',\alpha '',\ldots ,$ et qu’en le développant dans une suite ordonnée par rapport aux puissances et aux produits d $\alpha ,\alpha ',\alpha '',\ldots ,$ on représente par $\alpha ^{n}\alpha '^{n'}\alpha ''^{n''}\ldots q_{n,n',n'',\ldots }$ le terme de cette suite qui a pour facteur le produit $\alpha ^{n}\alpha '^{n'}\alpha ''^{n''}\ldots$ on aura

$q_{n,n',n'',\ldots }={\frac {\frac {\partial ^{n+n'+n''+\ldots }u}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha '^{n'}\partial \alpha ''^{n''}\ldots }}{1.2.3\ldots n.1.2.3\ldots n'.1.2.3\ldots n''\ldots }},$

pourvu que l’on suppose $\alpha ,\alpha ',\alpha '',\ldots$ nuls après les différentiations.

Supposons maintenant que $u$ soit fonction de $\alpha ,\alpha ',\alpha '',\ldots$ et des variables $t,t',t'',\ldots \,;$ si, par la nature de cette fonction ou par une équation aux différences partielles qui la représente, on parvient à obtenir

${\frac {\partial ^{n+n'+\ldots }u}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha '^{n'}\ldots }}$