varier avec
Partant, si l’on suppose après les différentiations
dans l’expression de
on aura
![{\displaystyle q_{n}={\frac {\frac {\partial ^{n}u}{\partial \alpha ^{n}}}{1.2.3\ldots n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53869f7c3ac61bdfb7ba9bffe6210ee98a7bc3b8)
Si
est fonction des deux quantités
et
et que l’on propose de le développer par rapport aux puissances et aux produits de
et de
en représentant ainsi cette suite,
![{\displaystyle {\begin{array}{r}u=\mathrm {u} +\alpha q_{1{,}0}+\alpha ^{2}q_{2{,}0}+\ldots &\\+\alpha 'q_{0{,}1}+\alpha \alpha 'q_{1{,}1}+\ldots &\\+\alpha '^{2}q_{0{,}2}+\ldots &\\+\ldots &\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2ccaa523106149c413897648b95e73e938da307)
le coefficient
du produit
sera pareillement égal à
![{\displaystyle {\frac {\frac {\partial ^{n+n'}u}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha '^{n'}}}{1.2.3\ldots n.1.2.3\ldots n'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9de0bbcc3d82ffa274d5a07ef1620046dc5a3b7c)
et
étant supposés nuls après les différentiations.
En général, si
est fonction de
et qu’en le développant dans une suite ordonnée par rapport aux puissances et aux produits d
on représente par
le terme de cette suite qui a pour facteur le produit
on aura
![{\displaystyle q_{n,n',n'',\ldots }={\frac {\frac {\partial ^{n+n'+n''+\ldots }u}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha '^{n'}\partial \alpha ''^{n''}\ldots }}{1.2.3\ldots n.1.2.3\ldots n'.1.2.3\ldots n''\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d37e464645f6e010c9b17a845f4cc091e2de31e0)
pourvu que l’on suppose
nuls après les différentiations.
Supposons maintenant que
soit fonction de
et des variables
si, par la nature de cette fonction ou par une équation aux différences partielles qui la représente, on parvient à obtenir
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{n+n'+\ldots }u}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha '^{n'}\ldots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f364c4049f8444c5b90be4aeab2470619bc39e83)