et celui de 
dans le développement de cette dernière fonction sera l’expression de 
Or, si l’on réduit d’abord l’expression 
en une série ordonnée selon les puissances de 
et qu’on la multiplie ensuite par le développement de 
il est facile de voir que le coefficient de dans ce produit est ce que devient la série en y faisant 
et s’arrêtant à la puissance 
de 
et l’on trouvera, pour la valeur de ce coefficient ou de 
![{\displaystyle \times \left\{{\begin{aligned}1&+{\frac {x'}{1}}{\frac {n}{m'}}+{\frac {x'(x'-1)}{1.2}}{\frac {n^{2}}{m'^{2}}}+{\frac {x'(x'-1)(x'-2)}{1.2.3}}{\frac {n^{3}}{m'^{3}}}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {x'(x'-1)\ldots (x'-x+2)}{1.2\ldots (x-1)}}{\frac {n^{x-1}}{m'^{x-1}}}\\&+{\frac {x'}{1}}m\left[1+{\frac {x'}{1}}{\frac {n}{m'}}+{\frac {x'(x'-1)}{1.2}}{\frac {n^{2}}{m'^{2}}}+\ldots \right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {x'(x'-1)\ldots (x'-x+3)}{1.2\ldots (x-2)}}{\frac {n^{x-2}}{m'^{x-2}}}\right]\\&+{\frac {x'(x'+1)}{1.2}}m^{2}\\&\times \left[1+{\frac {x'}{1}}{\frac {n}{m'}}+\ldots +{\frac {x'(x'-1)\ldots (x'-x+4)}{1.2\ldots (x-3)}}{\frac {n^{x-3}}{m'^{x-3}}}\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {x'(x'+1)\ldots (x'+x-2)}{1.2\ldots (x-1)}}m^{x-1}\end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce15212b2e7c3ed27053d8d0a2a962cfa52f08b)
En désignant par 
la probabilité du joueur 
on serait conduit, par les mêmes raisonnements, à une équation semblable aux différences partielles,
qui donne pareillement pour la variable une fonction génératrice de la forme
et 
étant, comme plus haut, des fonctions arbitraires de 
et de 
que l’on déterminera par les mêmes considérations. En effet la fonction génératrice de 
est, 
celle de 
est l’unité : on formera donc les équations
d’où l’on tire
