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de $\varpi$ qui rend nulle la quantité $2\cos \varpi +1,$ et la seconde intégrale étant prise depuis $\varpi =0$ jusqu’à sa valeur qui rend nulle la quantité $2\cos \varpi -1.$

Pour obtenir la première intégrale en série convergente, on fera

$(1+2\cos \varpi )^{s}=3^{s}c^{-t^{2}}\,;$

en supposant $\alpha ={\frac {1}{s}},$ extrayant la racine $s$ de chaque membre, et développant $\cos \varpi$ et $c^{-\alpha t^{2}},$ on aura

$3-\varpi ^{2}+{\frac {\varpi ^{2}}{12}}-\ldots =3-3\alpha t^{2}+{\frac {3\alpha ^{2}t^{4}}{2}}-\ldots ,$

d’où l’on tire, par le retour des suites,

$\varpi =\alpha ^{\frac {1}{2}}t{\sqrt {3}}\left(1-{\frac {\alpha t^{2}}{8}}+\ldots \right)\,;$

partant,

$\int d\varpi (1+2\cos \varpi )^{s}={\frac {3^{s+{\frac {1}{2}}}}{\sqrt {s}}}\int dtc^{-t^{2}}\left(1-{\frac {3t^{2}}{8s}}+\ldots \right).$

L’intégrale relative à $t$ doit être prise depuis $t$ nul jusqu’à $t$ infini ; on aura donc

$\int d\varpi (1+2\cos \varpi )^{s}={\frac {3^{s+{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}{2{\sqrt {s}}}}\left(1-{\frac {3}{16s}}+\ldots \right).$

On trouvera de la même manière

$\int d\varpi (2\cos \varpi -1)^{s}={\frac {\sqrt {\pi }}{2{\sqrt {s}}}}\left(1-{\frac {5}{16s}}+\ldots \right)\,;$

on aura donc

$y_{s}={\frac {3^{s+{\frac {1}{2}}}}{2{\sqrt {s\pi }}}}\left(1-{\frac {3}{16s}}+\ldots \right)+{\frac {(-1)^{s}}{2{\sqrt {s\pi }}}}\left(1-{\frac {5}{16s}}+\ldots \right)\,;$

$s$ étant supposé un très grand nombre, cette quantité se réduit à très peu près à ${\frac {3^{s+{\frac {1}{2}}}}{2{\sqrt {s\pi }}}}.$ C’est l’expression fort approchée du terme moyen, ou indépendant de $a,$ du binôme $\left({\frac {1}{a}}+1+a\right)^{s}.$