le terme indépendant des caractéristiques. La même chose a lieu dans l’équation C égale B moins un, et encore dans l’équation B moins G égale un. En substituant δ et Δ au lieu de B et de C, et élevant les deux membres de cette dernière équation à la puissance n, en développant ensuite le premier membre, l’égalité subsistera, pourvu que dans chaque terme on place la fonction de l’indice à la suite des puissances des caractéristiques δ et Δ et des produits de ces puissances, et que l’on écrive cette fonction au lieu de l’unité dans le second membre, ce qui donne une expression de cette fonction au moyen de ses valeurs successives et de ses différences.
Si l’on applique les mêmes considérations à d’autres valeurs des multiplicateurs B et C, on est conduit à ce résultat général : quelles que soient les fonctions de la variable t représentées par B et C, on peut, dans le développement de toutes les équations identiques qui peuvent être formées entre elles, substituer, au lieu de ces fonctions, les caractéristiques correspondantes δ et Δ, pourvu que l’on écrive la fonction de l’indice à la suite des puissances ou des produits de puissances des caractéristiques, et que l’on multiplie par cette fonction les termes indépendants des caractéristiques. En effet, il est visible que si, dans un terme quelconque du développement de l’équation entre B et C dont il s’agit, r est la puissance de B et r’ celle de C, il faut, pour repasser des fonctions génératrices à leurs coefficients, écrire δ au lieu de B, Δ au lieu de C, et placer le produit des puissances r et r’ de ces caractéristiques devant la fonction de l’indice.
On doit observer ici que les équations entre les caractéristiques sont identiques, comme les équations correspondantes entre B et C. Ainsi la fonction de l’indice augmenté de l’indéterminée n par une série de différences est identique avec cette série : elle n’est au fond que cette fonction transformée. Mais c’est dans ces transformations que résident le pouvoir de l’Analyse et ses avantages. Si, par exemple, la nature d’une question conduit à regarder comme nulle la différence troisième d’une fonction, alors la série précédente se termine, et devient la fonction de n qui satisfait à cette condition et qui, par conséquent, est
