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LIVRE PREMIER.

et la fonction génératrice de $\Delta ''y_{x}y'_{x}y''_{x}\ldots$ sera

$uu'u''\ldots \left({\frac {1}{tt't''}}-1\right)^{n}.$

On prouvera, comme dans le n^o 2, que la fonction génératrice de $\Sigma ^{n}y_{x}y'_{x}y''_{x}\ldots$ sera

$uu'u''\ldots \left({\frac {1}{tt't''}}-1\right)^{-n},$

c’est-à-dire que l’on peut changer $n$ en $-n$ dans la fonction génératrice de $\Delta ''y_{x}y'_{x}\ldots ,$ pourvu que l’on change $\Delta ^{-n}$ en $\Sigma ^{n}.$

Appliquons ces résultats à deux fonctions $y_{x}$ et $y'_{x}.$ La fonction génératrice de $\Delta ^{n}y_{x}y'_{x}$ sera $uu'\left({\frac {1}{tt'}}-1\right)^{n}.$ On peut la mettre sous cette forme

$uu'\left[{\frac {1}{t}}-1+{\frac {1}{t}}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)\right]^{n}\,;$

en la développant, elle devient

$uu'\left[\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n}+{\frac {n}{t}}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n-1}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)\right.$

$\left.+{\frac {n(n-1)}{1.2.t^{2}}}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n-2}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)^{2}+\ldots \right]\,;$

les fonctions

$uu'\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n},\quad uu'{\frac {1}{t}}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n-1}\left({\frac {1}{t'}}-1\right),$

$uu'{\frac {1}{t^{2}}}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n-2}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)^{2},\ldots$

sont respectivement génératrices des produits $y'_{x}\Delta ^{n}y_{x},\ \Delta y'_{x}\Delta ^{n-1}y_{x+1},$$\Delta ^{2}y'_{x}\Delta ^{n-2}y_{x+2},\ldots .$ L’équation

$uu'\left({\frac {1}{tt'}}-1\right)^{n}=uu'\left[\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n}+{\frac {n}{t}}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n-1}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)+\ldots \right]$

donnera donc, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,

(8)

$\Delta ^{n}y_{x}y'_{x}=y'_{x}\Delta ^{n}y_{x}+n\Delta y'_{x}\Delta ^{n-1}y_{x+1}+{\frac {n(n-1)}{1.2.}}n\Delta ^{2}y'_{x}\Delta ^{n-2}y_{x+2}+\ldots .$

En changeant $n$ dans $-n,$ on aura

(9)

$\Sigma ^{n}y_{x}y'_{x}=y'_{x}\Sigma ^{n}y_{x}-n\Delta y'_{x}\Sigma ^{n+1}y_{x+1}+{\frac {n(n+1)}{1.2.}}n\Delta ^{2}y'_{x}\Delta ^{n+2}y_{x+2}-\ldots .$