Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/585

est

${\frac {x^{q}dx(1-x)^{p-q}}{\int x^{q}dx(1-x)^{p-q}}},$

l’intégrale du dénominateur étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=1$.

La probabilité que, sur les d’individus de l’âge $\mathrm {A} ,\ q'+z$ vivront à l’âge $\mathrm {A} +a$ est

${\frac {1.2.3\ldots p'}{1.2.3\ldots (q'+z)1.2.3\ldots (p'-q'-z)}}x^{q'+z}(1-x)^{p'-q'-z}.$

En multipliant cette probabilité par la probabilité précédente de la valeur de $x,$ le produit intégré depuis $x=0$ jusqu’à $x=1$ sera la probabilité de l’existence de $q'+z$ personnes à l’âge $\mathrm {A} +a.$ En nommant donc $\mathrm {P}$ cette probabilité, on aura

$\mathrm {P} ={\frac {1.2.3\ldots p'\int x^{q+q'+z}dx(1-x)^{p+p'-q'-z}}{1.2.3\ldots (q'+z)1.2.3\ldots (p'-q'-z)\int x^{q}dx(1-x)^{p-q}}},$

les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis $x=0$ jusqu’à $x=1.$ On a, par le n^o 28, à très peu près,

$\int x^{q+q'+z}dx(1-x)^{p+p'-q'-z}$

${\begin{aligned}=&{\sqrt {2\pi }}\left[(q+q')\left(1+{\frac {z}{q+q'}}\right)\right]^{q+q'+z+{\frac {1}{2}}}\\&\times {\frac {\left[(p+p'-q-q')\left(1-{\cfrac {z}{p+p'-q-q'}}\right)\right]^{p+p'-q-q'-z+{\frac {1}{2}}}}{(p+p')^{p+p'+{\frac {3}{2}}}}},\\&\quad \int x^{q}dx(1-x)^{p-q}={\sqrt {2\pi }}{\frac {q^{q+{\frac {1}{2}}}(p-q)^{p-q+{\frac {1}{2}}}}{p^{p+{\frac {3}{2}}}}}.\end{aligned}}$

Ensuite, par le n^o 33 du Livre I^er, on a

${\begin{aligned}1.2.3\ldots p'=&p'^{p'+{\frac {1}{2}}}c^{-p'}{\sqrt {2\pi }},\\1.2.3\ldots (q'+z)=&q'^{q'+z+{\frac {1}{2}}}\left(1+{\frac {z}{q'}}\right)^{q'+z+{\frac {1}{2}}}c^{-q'-z}{\sqrt {2\pi }},\\1.2.3\ldots (p'-q'-z)=&(p'-q')^{p'-q'-z+{\frac {1}{2}}}\left(1-{\frac {z}{p'-q'}}\right)^{p'-q'-z+{\frac {1}{2}}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times c^{-p'+q'+z}{\sqrt {2\pi }}\,;\end{aligned}}$