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ADDITIONS.

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I.

Nous avons intégré, par une approximation très convergente, dans le n^o 34 du Livre I^er, l’équation aux différences finies

$0=(n'+s+1)y_{s+1}-(n+s)y_{s}.$

Il est facile de conclure de notre analyse l’expression du rapport de la circonférence au rayon, en produits infinis, donnée par Wallis. En effet, cette analyse nous a conduit, dans le numéro cité, à l’expression générale

$(a)\quad {\frac {(n+\mu )(n+\mu +1)\ldots (n+s-1)}{(n'+\mu +1)(n'+\mu +2)\ldots (n'+s)}}={\frac {\int u^{2n'-2n+1}du\left(1-u^{2}\right)^{n+s-1}}{\int u^{2n'-2n+1}du\left(1-u^{2}\right)^{n+\mu -1}}},$

les intégrales étant prises depuis $u=0$ jusqu’à $u=1.$ En faisant d’abord $n'=0,\ n={\frac {1}{2}},\ \mu =1$ et observant que $\int du\left(1-u^{2}\right)^{\frac {1}{2}}={\frac {1}{4}}\pi ,\ \pi$ étant le rapport de la demi-circonférence au rayon, on aura

${\frac {4}{\pi }}={\frac {3.5\ldots (2s-1)}{4.6\ldots 2s\int du\left(1-u^{2}\right)^{s-{\frac {1}{2}}}}}.$

En supposant donc généralement

${\frac {1}{\int du\left(1-u^{2}\right)^{2}}}=y_{s},$

on aura

${\frac {4}{\pi }}={\frac {3.5\ldots (2s-1)}{4.6\ldots 2s}}y_{s-{\frac {1}{2}}}={\frac {3.5\ldots (2s+1)}{4.6\ldots (2s+2)}}y_{s+{\frac {1}{2}}}=\ldots ,$

ce qui donne

$y_{s-{\frac {1}{2}}}={\frac {2s+1}{2s+2}}y_{s+{\frac {1}{2}}}.$