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On aura pareillement

$\mathrm {S} n^{(i)2}\mathrm {R} ^{(i)2}={\frac {2k''}{k}}\mathrm {S} m^{(i)2}n^{(i)2}+{\frac {2{\overline {k}}\,''}{\overline {k}}}\mathrm {S} n^{(i)4}\,;$

de là on tire

${\begin{aligned}{\frac {4k''}{k}}=&{\frac {2\mathrm {S} n^{(i)4}\mathrm {S} m^{(i)2}\mathrm {R} ^{(i)2}-2\mathrm {S} m^{(i)2}n^{(i)2}\mathrm {S} n^{(i)2}\mathrm {R} ^{(i)2}}{\mathrm {S} m^{(i)4}\mathrm {S} n^{(i)4}-\left(\mathrm {S} m^{(i)2}n^{(i)2}\right)^{2}}}\\{\frac {4{\overline {k}}\,''}{\overline {k}}}=&{\frac {2\mathrm {S} m^{(i)4}\mathrm {S} n^{(i)2}\mathrm {R} ^{(i)2}-2\mathrm {S} m^{(i)2}n^{(i)2}\mathrm {S} m^{(i)2}\mathrm {R} ^{(i)2}}{\mathrm {S} m^{(i)4}\mathrm {S} n^{(i)4}-\left(\mathrm {S} m^{(i)2}n^{(i)2}\right)^{2}}}\,;\end{aligned}}$

en désignant donc par $2\mathrm {P}$ et $2\mathrm {Q}$ les numérateurs de ces deux expressions, les facteurs par lesquels on doit multiplier l’équation de condition seront

${\begin{aligned}{\frac {l^{(i)}}{m^{(i)2}\mathrm {P} +n^{(i)2}\mathrm {Q} }},&\\{\frac {p^{(i)}}{m^{(i)2}\mathrm {P} +n^{(i)2}\mathrm {Q} }},&\end{aligned}}$

Il s’agit maintenant de faire voir que ces valeurs de ${\frac {4k''}{k}},{\frac {4{\overline {k}}\,''}{\overline {k}}}$ sont fort approchées. Pour cela, ne considérons qu’un élément $\,:x$ l’équation de condition

$l^{(i)}x=a^{(i)}+m^{(i)}\gamma ^{(i)}+n^{(i)}\lambda ^{(i)}$

donnera

$x={\frac {\mathrm {S} a^{(i)}l^{(i)}}{\mathrm {S} l^{(i)}}}+{\frac {\mathrm {S} l^{(i)}m^{(i)}\gamma ^{(i)}+\mathrm {S} l^{(i)}n^{(i)}\lambda ^{(i)}}{\mathrm {S} l^{(i)2}}}.$

Substituant cette valeur dans l’équation de condition, on aura

$\mathrm {R} ^{(i)}={\frac {l^{(i)}\mathrm {S} a^{(i)}l^{(i)}-a^{(i)}\mathrm {S} l^{(i)2}}{\mathrm {S} l^{(i)2}}},$

$\mathrm {R} ^{(i)}+l^{(i)}{\frac {\mathrm {S} \left(l^{(i)}m^{(i)}\gamma ^{(i)}+l^{(i)}n^{(i)}\lambda ^{(i)}\right)}{\mathrm {S} l^{(i)2}}}=m^{(i)}\gamma ^{(i)}+n^{(i)}\lambda ^{(i)}\,;$

mais il est facile de voir que les valeurs de $\mathrm {S} l^{(i)}m^{(i)}\gamma ^{(i)}$ et de $\mathrm {S} l^{(i)}n^{(i)}\lambda ^{(i)}$