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THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

donc

$\varphi (\varpi +x')=$

${\begin{aligned}&\varphi (\varpi )\qquad \left(b''\mathrm {X} ^{(0)}+c''{\frac {d\mathrm {X} ^{(0)}}{dx'}}+e''{\frac {d^{2}\mathrm {X} ^{(0)}}{dx'^{2}}}+\ldots +q''{\frac {d^{n-1}\mathrm {X} ^{(0)}}{dx^{'n-1}}}\right)\\&+\nabla \varphi (\varpi )\left(b''\mathrm {X} ^{(1)}+c''{\frac {d\mathrm {X} ^{(1)}}{dx'}}+e''{\frac {d^{2}\mathrm {X} ^{(1)}}{dx'^{2}}}+\ldots +q''{\frac {d^{n-1}\mathrm {X} ^{(1)}}{dx^{'n-1}}}\right)\\&+\nabla ^{2}\varphi (\varpi )\left(b''\mathrm {X} ^{(2)}+c''{\frac {d\mathrm {X} ^{(2)}}{dx'}}+e''{\frac {d^{2}\mathrm {X} ^{(2)}}{dx'^{2}}}+\ldots +q''{\frac {d^{n-1}\mathrm {X} ^{(2)}}{dx^{'n-1}}}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {d\varphi (\varpi )}{d\varpi }}\left(c''\mathrm {X} ^{(0)}+e''{\frac {d\mathrm {X} ^{(0)}}{dx'}}+\ldots +q''{\frac {d^{n-2}\mathrm {X} ^{(0)}}{dx^{'n-2}}}\right)\\&+{\frac {d\nabla \varphi (\varpi )}{d\varpi }}\left(c''\mathrm {X} ^{(1)}+e''{\frac {d\mathrm {X} ^{(1)}}{dx'}}+\ldots +q''{\frac {d^{n-2}\mathrm {X} ^{(1)}}{dx^{'n-2}}}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {d^{2}\varphi (\varpi )}{d\varpi ^{2}}}\left(e''\mathrm {X} ^{(0)}+\ldots +q''{\frac {d^{n-3}\mathrm {X} ^{(0)}}{dx^{'n-3}}}\right)\\&+{\frac {d^{2}\nabla \varphi (\varpi )}{d\varpi ^{2}}}\left(e''\mathrm {X} ^{(1)}+\ldots +q''{\frac {d^{n-3}\mathrm {X} ^{(1)}}{dx^{'n-3}}}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+q''{\frac {d^{n-1}\varphi (\varpi )}{d\varpi ^{n-1}}}\mathrm {X} ^{(0)}+q''{\frac {d^{n-1}\nabla \varphi (\varpi )}{d\varpi ^{n-1}}}\mathrm {X} ^{(1)}+q''{\frac {d^{n-1}\nabla ^{2}\varphi (\varpi )}{d\varpi ^{n-1}}}\mathrm {X} ^{(2)}+\ldots .\end{aligned}}$

Cette formule servira à interpoler les suites dont la dernière raison des termes est celle d’une équation linéaire aux différences infiniment petites à coefficients constants.

Si l’on a

$\nabla ^{s}\varphi (\varpi +x')=0,$

la formule se termine et donne la valeur de $\varphi (\varpi +x'),$ ou l’intégrale de l’équation différentielle précédente ; $\varphi (\varpi ),{\frac {d\varphi (\varpi )}{d\varpi }},\ldots \,;\ \nabla \varphi (\varpi ),$${\frac {d\nabla \varphi (\varpi )}{d\varpi }},$$\ldots \,;\ \nabla ^{2}\varphi (\varpi ),{\frac {d\nabla ^{2}\varphi (\varpi )}{d\varpi }},\ldots$ étant les $ns$ arbitraires de l’intégrale.