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LIVRE PREMIER.

on aura ainsi $\mathrm {Z} -t\mathrm {Z} '$ pour le coefficient de $\theta ^{i}$ dans le développement de la fraction

${\frac {1-\theta t}{(1-\theta )^{2}-z\theta }}\,;$

ce sera par conséquent l’expression de ${\frac {1}{t^{i}}}\,;$ partant,

${\frac {u}{t^{i}}}=u(\mathrm {Z} -t\mathrm {Z} ').$

Cela posé, le coefficient de $t^{x}$ dans ${\frac {u}{t^{i}}}$ est $y_{x+i}.$ Ce même coefficient, dans un terme quelconque de $u\mathrm {Z} ,$ tel que $kuz^{r}$ ou $kut^{r}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2r},$ est, par le n^o 2, $k\Delta ^{2r}y_{x-r}.$ Dans un terme quelconque de $utZ',$ tel que $kutz^{r}$ ou $kut^{r+1}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2r},$ ce coefficient est $k\Delta ^{2r}y_{x-r-1}.\,;$ on aura donc, en repassant des fonctions génératrices à leurs coefficients,

$y_{x+i}=(i+1)\left\{{\begin{aligned}y_{x}&+{\frac {(i+1)^{2}-1}{1.2.3}}\Delta ^{2}y_{x-1}\\&+{\frac {\left[(i+1)^{2}-1\right]\left[(i+1)^{2}-4\right]}{1.2.3.4.5}}\Delta ^{4}y_{x-2}+\ldots \end{aligned}}\right\}$

$-i\left[y_{x-1}+{\frac {i^{2}-1}{1.2.3}}\Delta ^{2}y_{x-2}+{\frac {\left(i^{2}-1\right)\left(i^{2}-4\right)}{1.2.3.4.5}}\Delta ^{4}y_{x-3}+\ldots \right].$

On peut donner les formes suivantes à l’expression précédente. Soit $\mathrm {Z} ''$ ce que devient $\mathrm {Z} '$ lorsqu’on y change $i$ dans $i-1,$ et par conséquent ce que devient $\mathrm {Z}$ lorsqu’on y change $i$ dans $i-2.$ L’équation

${\frac {1}{t^{i}}}=\mathrm {Z} -t\mathrm {Z} '$

donnera

${\frac {1}{t^{i-1}}}=\mathrm {Z} '-t\mathrm {Z} ''\,;$

par conséquent.

${\frac {1}{t^{i}}}={\frac {\mathrm {Z} '}{t}}-\mathrm {Z} ''.$

En ajoutant ces deux valeurs de ${\frac {1}{t^{i}}}$ et prenant la moitié de leur somme,