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on aura donc, en prenant l’intégrale depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini,

${\frac {dy}{dr}}+{\frac {r}{2a^{2}}}y=0.$

L’intégrale de cette équation est

$y=\mathrm {B} c^{-{\frac {r^{2}}{4a^{2}}}},$

$\mathrm {B}$ étant une constante arbitraire que l’on déterminera en observant que, $r$ étant nul, on a

$y=\mathrm {B} =\int dxc^{-a^{2}x^{2}}.$

Cette dernière intégrale est, par le numéro précédent, ${\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}\,;$ donc $\mathrm {B} ={\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}\,;$ par conséquent

$\int dx\cos rx.c^{-a^{2}x^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}c^{-{\frac {r^{2}}{4a^{2}}}},$

ce qui est conforme au résultat trouvé ci-dessus par le passage du réel à l’imaginaire.

En différentiant $2n$ fois par rapport à $r,$ on aura

$\int x^{2n}dx\cos rx.c^{-a^{2}x^{2}}=\pm {\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}{\frac {d^{2n}}{dr^{2n}}}c^{-{\frac {r^{2}}{4a^{2}}}},$

le signe $+$ ayant lieu si $n$ est pair, et le signe $-$ si $n$ est impair. Cette dernière équation, différenciée par rapport à $r,$ donne

$\int x^{2n+1}dx\sin rx.c^{-a^{2}x^{2}}=\mp {\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}{\frac {d^{2n+1}}{dr^{2n+1}}}c^{-{\frac {r^{2}}{4a^{2}}}}.$

En intégrant une fois par rapport à $r$ l’expression de $\int dx\cos rx.c^{-a^{2}x^{2}},$ on aura

$\int {\frac {dx\sin rx}{x}}c^{-a^{2}x^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}\int drc^{-{\frac {r^{2}}{4a^{2}}}}.$

Lorsque $a$ est nul, ${\frac {r}{a}}$ devient infini, et l’intégrale $\int {\frac {dr}{2a}}c^{-{\frac {r^{2}}{4a^{2}}}},$ prise depuis $r$ nul, devient ${\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\,;$ donc

$\int {\frac {dx\sin rx}{x}}={\frac {\pi }{2}}.$