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sera $p\varepsilon .$ Mais, si l’on représente par l’unité sa fortune physique, indépendamment de son expectative, sa fortune morale sera, par ce qui précède,

$kp\log(1+\varepsilon )+\log h,$

et son avantage moral sera, en vertu de son expectative,

$(1+\varepsilon )^{p}-1,$

quantité plus petite que $p\varepsilon \,;$ car on a

$(1+\varepsilon )^{p}<1+p\varepsilon ,$

puisque $\log(1+\varepsilon )^{p}$ ou $p\log(1+\varepsilon )$ est moindre que $\log(1+p\varepsilon ),$ ce qui est évident, lorsqu’on met ces deux logarithmes sous les formes $\int {\frac {pd\varepsilon }{1+\varepsilon }}$ et $\int {\frac {pd\varepsilon }{1+\varepsilon }}.$

Supposons maintenant que le négociant expose la somme $\varepsilon ,$ par parties égales, sur $r$ vaisseaux. Sa fortune physique deviendra $1+\varepsilon ,$ si tous les vaisseaux arrivent, et la probabilité de cet événement est $p^{r}.$ Si $r-1$ vaisseaux arrivent, la fortune physique du négociant devient $1+{\frac {(r-1)\varepsilon }{r}},$ et la probabilité de cet événement est $rp^{r-1}(1-p).$ Si $r-2$ vaisseaux arrivent, la fortune physique du négociant, devient $1+{\frac {(r-2)}{r}}\varepsilon ,$ et la probabilité de cet événement est ${\frac {r(r-1)}{1.2}}p^{r-2}(1-p)^{2},$ et ainsi de suite ; la fortune morale du négociant est donc, par ce qui précède,

$k\left\{{\begin{aligned}p^{r}&\log(1+\varepsilon )+rp^{r-1}(1-p)\log(1+{\frac {(r-1)}{r}}\varepsilon \\&+{\frac {r(r-1)}{1.2}}p^{r-2}(1-p)^{2}\log(1+{\frac {(r-2)}{r}}\varepsilon +\ldots \end{aligned}}\right\}+\log h,$

expression que l’on peut mettre sous cette forme

$(a)\ kp\int d\varepsilon \times$

$\left[{\frac {p^{r-1}}{1+\varepsilon }}+{\frac {(r-1)p^{r-2}(1-p)}{1+{\cfrac {(r-1)}{r}}\varepsilon }}+{\frac {(r-1)(r-2)p^{r-3}(1-p)^{2}}{1.2.\left(1+{\cfrac {(r-2)}{r}}\varepsilon \right)}}+\ldots \right]+\log h.$

Si l’on retranche de cette expression celle de la fortune morale du né-