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enfin on a $q'={\frac {qp'}{p}}.$ Cela posé, on trouve, après toutes les réductions,

$\mathrm {P} ={\sqrt {\frac {p^{3}}{qp'(p-q)(p+p')2\pi }}}$

$\times {\frac {\left(1+{\cfrac {z}{q+q'}}\right)^{q+q'+z+{\frac {1}{2}}}\left(1-{\cfrac {z}{p+p'-q-q'}}\right)^{p+p'-q-q'-z+{\frac {1}{2}}}}{\left(1+{\frac {z}{q'}}\right)^{q'+z+{\frac {1}{2}}}\left(1-{\frac {z}{p'-q'}}\right)^{p'-q'-z+{\frac {1}{2}}}}}.$

Si l’on prend le logarithme hyperbolique du second membre de cette équation, que l’on réduise ce logarithme en série ordonnée par rapport aux puissances de $z,$ et que l’on néglige les puissances supérieures au carré, on aura, en repassant du logarithme à la fonction,

$\mathrm {P} ={\sqrt {\frac {p^{3}}{qp'(p-q)(p+p')2\pi }}}\left[1+{\frac {(2q-p)p^{2}z}{2qp'(p-q)(p+p')}}\right]c^{\frac {-p^{2}z^{2}}{2qp'(p-q)(p+p')}}.$

$p,q,p'$ étant supposés de très grands nombres de l’ordre ${\frac {1}{\alpha }},$ le coefficient de $z$ est très petit de l’ordre $\alpha \,;$ celui de $-z^{2}$ est très petit et du même ordre. Mais, si l’on suppose ${\frac {z}{p}}$ de l’ordre ${\sqrt {\alpha }},$ on pourra négliger, dans l’expression précédente, le terme dépendant de la première puissance de $z,$ comme très petit de l’ordre ${\sqrt {\alpha }}.$ De plus, ce terme se détruit lui-même, lorsque l’on a égard à la fois aux valeurs positives et négatives de $z.$ En le négligeant donc, on aura

$2{\sqrt {\frac {p^{3}}{qp'(p-q)(p+p')2\pi }}}\int dzc^{-{\frac {p^{2}z^{2}}{2qp'(p-q)(p+p')}}}$

pour l’expression de la probabilité que, sur $p'$ individus de l’âge $\mathrm {A} ,$ le nombre de ceux qui parviendront à l’âge $\mathrm {A} +a$ sera compris dans les limites $q'\pm z,$ l’intégrale étant prise depuis $z$ nul.

Supposons maintenant que l’on ait trouvé par l’observation que, sur $p$ individus de l’âge $\mathrm {A} ,\ q$ vivaient encore à l’âge $\mathrm {A} +a,$ et $r$ à l’âge $\mathrm {A} +a+a'\,;$ on demande la probabilité que, sur d’individus du même âge $\mathrm {A} ,\ {\frac {qp'}{p}}+z$ vivront à l’âge $\mathrm {A} +a,$ et ${\frac {rp'}{p}}+z'$ vivront à l’âge $\mathrm {A} +a+a'.$