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que $n=rs\,;$ on aura les $r$ équations suivantes

(V)

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {P} _{1}y-\mathrm {A_{1}+X_{1}} =0,\\&\mathrm {P} _{2}y-\mathrm {A_{2}+X_{2}} =0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\mathrm {P} _{r}y-\mathrm {A} _{r}+\mathrm {X} _{r}=0,\\\end{aligned}}\right.$

et l’on a

${\begin{aligned}&\mathrm {P} _{1}=p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{s},\\&\mathrm {A} _{1}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{s},\\&\mathrm {X} _{1}=x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{s},\\&\mathrm {P} _{2}=p_{s+1}+p_{s+2}+\ldots +p_{2s},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

En appliquant aux équations (V) le procédé de la méthode la plus avantageuse, on a

$y={\frac {\mathrm {SP} _{t}\mathrm {A} _{t}}{\mathrm {SP} _{t}^{2}}}-{\frac {\mathrm {SP} _{t}\mathrm {X} _{t}}{\mathrm {SP} _{t}^{2}}}\,;$

le signe $\mathrm {S}$ embrassant toutes les quantités qu’il précède, depuis $t=1$ jusqu’à $t=r$ inclusivement. ${\frac {\mathrm {SP} _{t}\mathrm {X} _{t}}{\mathrm {SP} _{t}^{2}}}$ est l’erreur de la valeur ${\frac {\mathrm {SP} _{t}\mathrm {A} _{t}}{\mathrm {SP} _{t}^{2}}}$ prise pour $y\,;$ en désignant par $u$ cette erreur, sa probabilité sera, par le n^o 20 du Livre II, proportionnelle à

$c^{-{\frac {k}{2k''}}{\frac {u^{2}}{\mathrm {S} m_{i}^{2}}}}\,;$

$m_{1},m_{2},\ldots$ étant les coefficients de $x_{1},x_{2},\ldots$ dans l’expression de $u\,;$ et l’intégrale $\mathrm {S} m_{i}^{2}$ s’étendant depuis $i=0$ jusqu’à $i=n$ inclusivement. Or il est aisé de voir que l’on a

${\begin{alignedat}{4}m_{1}\ \quad =&{\frac {\mathrm {P} _{1}}{\mathrm {SP} _{t}^{2}}},\quad &m_{2}=&{\frac {\mathrm {P} _{1}}{\mathrm {SP} _{t}^{2}}},&&\ldots ,\quad &m_{s}\ =&{\frac {\mathrm {P} _{1}}{\mathrm {SP} _{t}^{2}}},\\m_{s+1}\,\ =&{\frac {\mathrm {P} _{2}}{\mathrm {SP} _{t}^{2}}},\quad &\ldots &\ldots \ldots ,\qquad &&\ldots ,\quad &m_{2s}=&{\frac {\mathrm {P} _{2}}{\mathrm {SP} _{t}^{2}}},\\m_{2s+1}=&{\frac {\mathrm {P} _{3}}{\mathrm {SP} _{t}^{2}}},\quad &\ldots &\ldots \ldots ,&&\ldots ,\quad &\ldots \ldots &\ldots \,;\end{alignedat}}$