supposant nuls
on a donc alors
![{\displaystyle \mathrm {M} _{i}={\frac {m_{i}\mathrm {S} n_{i}q_{i}-n_{i}\mathrm {S} m_{i}q_{i}}{\mathrm {I} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a563b1bf81bd18d6bec72476265db4937ebf903)
d’où il est facile de conclure
![{\displaystyle c^{-{\frac {k}{2k''}}{\frac {u^{2}}{\mathrm {SM} _{i}^{2}}}}=c^{-{\frac {k}{2k''}}u^{2}\mathrm {\frac {I^{2}}{H}} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd3a326deeb59c4e5043ca2ad94e8961a8621059)
en faisant
![{\displaystyle \mathrm {H} =\mathrm {S} m_{i}^{2}\left(\mathrm {S} n_{i}q_{i}\right)^{2}-2\mathrm {S} m_{i}n_{i}\mathrm {S} m_{i}q_{i}\mathrm {S} n_{i}q_{i}+\mathrm {S} n_{i}^{2}\left(\mathrm {S} m_{i}q_{i}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/484b6e6e55c2f1b6c2c92fd2525677d74a99fb14)
résultat qui coïncide avec celui du no 21 du Livre II, dans lequel nous avons prouvé que le maximum du coefficient de
dans cette exponentielle a lieu lorsque l’on suppose généralement
cette supposition donne donc le résultat le plus avantageux ou celui dont le poids est un maximum.
On déterminera la valeur de
au moven des carrés des restes qui ont lieu lorsque l’on substitue dans les équations de condition les valeurs déterminées pour
et
En désignant par
ce reste dans la
ième équation de condition
![{\displaystyle 0=x_{i}-a_{i}+p_{i}y+q_{i}y',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc0bab19d925b27db537837d67d9eb69c384470b)
et désignant par
et
les erreurs de ces valeurs, on aura
![{\displaystyle 0=x_{i}-\varepsilon _{i}-p_{i}u-q_{i}u'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccbdf27309891c27ce263e7a8c33a3ef4a499fd6)
ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {S} \varepsilon _{i}^{2}=\mathrm {S} x_{i}^{2}-2u\mathrm {S} p_{i}x_{i}-2u'\mathrm {S} q_{i}x_{i}+u^{2}\mathrm {S} p_{i}^{2}+2uu'\mathrm {S} p_{i}q_{i}+u'^{2}\mathrm {S} q_{i}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45939f407ad5a22381de91b082df6df096d85417)
On a, par le no 19 du Livre II,
![{\displaystyle \mathrm {S} x_{i}^{2}={\frac {k''}{k}}n\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/156e089548847b92ad4f2b4ff4d8cb18d53d6836)
ensuite, les valeurs
et
cessent d’être vraisemblables, lorsqu’elles surpassent des quantités de l’ordre
Les valeurs de
et
cessent d’être vraisemblables lorsqu’elles surpassent des quantités de