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supposant nuls $x_{1},x_{2},\ldots \,:$ on a donc alors

$\mathrm {M} _{i}={\frac {m_{i}\mathrm {S} n_{i}q_{i}-n_{i}\mathrm {S} m_{i}q_{i}}{\mathrm {I} }}\,;$

d’où il est facile de conclure

$c^{-{\frac {k}{2k''}}{\frac {u^{2}}{\mathrm {SM} _{i}^{2}}}}=c^{-{\frac {k}{2k''}}u^{2}\mathrm {\frac {I^{2}}{H}} },$

en faisant

$\mathrm {H} =\mathrm {S} m_{i}^{2}\left(\mathrm {S} n_{i}q_{i}\right)^{2}-2\mathrm {S} m_{i}n_{i}\mathrm {S} m_{i}q_{i}\mathrm {S} n_{i}q_{i}+\mathrm {S} n_{i}^{2}\left(\mathrm {S} m_{i}q_{i}\right)^{2},$

résultat qui coïncide avec celui du n^o 21 du Livre II, dans lequel nous avons prouvé que le maximum du coefficient de $-u^{2}$ dans cette exponentielle a lieu lorsque l’on suppose généralement $m_{i}=p_{i},\ n_{i}=q_{i}\,;$ cette supposition donne donc le résultat le plus avantageux ou celui dont le poids est un maximum.

On déterminera la valeur de ${\frac {k}{2k''}}$ au moven des carrés des restes qui ont lieu lorsque l’on substitue dans les équations de condition les valeurs déterminées pour $y$ et $y'.$ En désignant par $\varepsilon _{i}$ ce reste dans la $i$^ième équation de condition

$0=x_{i}-a_{i}+p_{i}y+q_{i}y',$

et désignant par $u$ et $u'$ les erreurs de ces valeurs, on aura

$0=x_{i}-\varepsilon _{i}-p_{i}u-q_{i}u'\,;$

ce qui donne

$\mathrm {S} \varepsilon _{i}^{2}=\mathrm {S} x_{i}^{2}-2u\mathrm {S} p_{i}x_{i}-2u'\mathrm {S} q_{i}x_{i}+u^{2}\mathrm {S} p_{i}^{2}+2uu'\mathrm {S} p_{i}q_{i}+u'^{2}\mathrm {S} q_{i}^{2}.$

On a, par le n^o 19 du Livre II,

$\mathrm {S} x_{i}^{2}={\frac {k''}{k}}n\,;$

ensuite, les valeurs $u$ et $u'$ cessent d’être vraisemblables, lorsqu’elles surpassent des quantités de l’ordre ${\frac {1}{\sqrt {n}}}.$ Les valeurs de $\mathrm {S} p_{i}x_{i}$ et $\mathrm {S} q_{i}x_{i}$ cessent d’être vraisemblables lorsqu’elles surpassent des quantités de