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Cette valeur serait très pénible à réduire en nombres, si $b$ et $2i$ étaient de grands nombres ; il serait surtout très difficile d’obtenir par son moyen le nombre de coups dans lesquels $\mathrm {A}$ peut parier un contre un de gagner la partie ; mais on peut y parvenir facilement de cette manière.

Reprenons la formule (H) trouvée ci-dessus. Dans le cas de $a$ infini, et $p$ étant supposé égal ou plus grand que $q$ si l’on y suppose ${\frac {r+1}{a}}\pi =\varphi$ et ${\frac {\pi }{a}}=d\varphi ,$ elle devient

$y_{a,a+2i}=1-{\frac {2^{b+2i+2}p^{b}(pq)^{i+1}}{\pi }}\int {\frac {d\varphi \sin 2\varphi \sin b\varphi (\cos \varphi )^{b+2i}}{p^{2}-2pq\cos 2\varphi +q^{2}}},$

l’intégrale devant être prise depuis $\varphi =0$ jusqu’à $\varphi ={\frac {1}{2}}\pi .$ Dans le cas de $p$ moindre que $q$, la même expression a lieu, pourvu que l’on change le premier terme $1$ dans ${\frac {p^{b}}{q^{b}}}.$

Si $p=q,$ cette expression devient

$1-{\frac {2}{\pi }}\int {\frac {d\varphi \sin b\varphi (\cos \varphi )^{b+2i+1}}{\sin \varphi }},$

l’intégrale étant prise depuis $\varphi$ nul jusqu’à $\varphi ={\frac {1}{2}}\pi .$ Supposons maintenant que $b$ et $i$ soient de grands nombres. Le maximum de la fonction

${\frac {\varphi (\cos \varphi )^{b+2i+1}}{\sin \varphi }}$

répond à $\varphi =0,$ ce qui donne $1$ pour ce maximum. La fonction décroît ensuite avec une extrême rapidité, et, dans l’intervalle où elle a une valeur sensible, on peut supposer

${\begin{aligned}\log \sin \varphi =&\log \varphi +\log \left(1-{\frac {1}{6}}\varphi ^{2}\right)=\log \varphi -{\frac {1}{6}}\varphi ^{2},\\\log(\cos \varphi )^{b+2i+1}=&(b+2i+1)\log \left(1-{\frac {1}{2}}\varphi ^{2}+{\frac {1}{24}}\varphi ^{4}\right)\\=&-{\frac {b+2i+1}{2}}\varphi ^{2}-{\frac {b+2i+1}{12}}\varphi ^{4},\end{aligned}}$

ce qui donne, en négligeant les sixièmes puissances de $\varphi$ et ses qua-