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de ${\frac {y}{u}},$ sa valeur précédente, on aura, après avoir intégré,

$c^{\int zdx}={\frac {1}{1-\int irdxc^{-\int idx}}}\,;$

l’équation (3) donnera donc

(5)

$\mathrm {U} ={\frac {u}{1-\int irdxc^{-\int idx}}}.$

Cette valeur de $\mathrm {U}$ suppose que l’on connaît par l’observation $i$ et $r.$ Si ces nombres étaient constants, il serait facile de les déterminer ; mais, comme ils peuvent varier d’âge en d’âge, les éléments de la formule (3) sont plus aisés à connaître, et cette formule me semble plus propre à déterminer la loi de mortalité qui aurait lieu, si la petite vérole était éteinte. En lui appliquant les données que l’on a pu se procurer sur la mortalité causée par cette maladie, aux divers âges de la vie, on trouve que son extinction au moyen de la vaccine augmenterait de plus de trois années la durée de la vie moyenne, si d’ailleurs cette durée n’était point restreinte par la diminution relative des subsistances, due à un plus grand accroissement de population.

37. Considérons présentement la durée moyenne des mariages. Pour cela concevons un grand nombre $n$ de mariages entre $n$ garçons de l’âge $a,$ et $n$ filles de l’âge $a'\,;$ et déterminons le nombre de ces mariages subsistants après $x$ années écoulées depuis leur origine. Nommons $\varphi$ la probabilité qu’un garçon qui se marie à l’âge $a$ parviendra à l’âge $a+x\,;$ et $\psi$ la probabilité qu’une fille qui se marie à l’âge $a'$ parviendra à l’âge $a'+x.$ La probabilité que leur mariage subsistera après sa $x$^ième année sera $\varphi \psi \,;$ donc, si l’on développe le binôme $\left[\varphi \psi +(1-\varphi \psi )\right]^{n},$ le terme $\mathrm {H} (\varphi \psi )^{i}(1-\varphi \psi )^{n-i}$ de ce développement exprimera la probabilité que, sur les $n$ mariages, $i$ subsisteront après $x$ années. Le plus grand terme du développement est, par le n^o 16, celui dans lequel est égal au plus grand nombre entier contenu dans $(n+1)\varphi \psi \,;$ et, par le même numéro, il est extrêmement probable que le nombre des mariages subsistants ne s’écartera que très peu en plus ou en moins de