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De là il est aisé de conclure

$\triangle ^{n}s^{i}={\frac {\left({\cfrac {i}{a}}\right)^{i+1}c^{as-i}\left(c^{a}-1\right)^{n}}{\sqrt {{\cfrac {i(i+1)}{a^{2}}}-in{\cfrac {c^{a}}{\left(c^{a}-1\right)^{2}}}}}}\left(1+{\frac {15f'^{2}-12ff''}{16f^{3}}}+{\frac {1}{12i}}+\ldots \right),$

formule qui coïncide avec la formule $(\mu ')$ du n^o 40 du Livre I^er.

Cette formule suppose $a$ positif, et c’est ce qui a lieu lorsque $i+1$ surpasse $n.$ En effet, si, dans l’équation

$0={\frac {i+1}{a}}-s-{\frac {nc^{a}}{c^{a}-1}},$

on suppose $a$ infiniment petit, le second membre est positif et égal à ${\frac {i+1-n}{a}}\,;$ ensuite, $a$ étant positif et infini, ce second membre devient négatif et égal à $-s-n\,;$ il y a donc une valeur positive de $a$ qui satisfait à cette équation. Mais il n’y en a qu’une ; car, s’il y en avait deux, la fonction ${\frac {i+1}{a}}-s-{\frac {nc^{a}}{c^{a}-1}}$ aurait un maximum entre ces deux valeurs ; on aurait donc à ce maximum

$0=-{\frac {i+1}{a^{2}}}+{\frac {nc^{a}}{\left(c^{a}-1\right)^{2}}},$

ce qui ne se peut, $a$ étant positif. En effet, $\left(c^{a}-1\right)^{2}$ est plus grand que $a^{2}c^{a}$ ou $c^{a}-1>ac^{\frac {a}{2}},$ ce qui est visible ; car on a

$c^{\frac {a}{2}}-c^{-{\frac {a}{2}}}=a+{\frac {a^{3}}{4.1.2.3}}+\ldots >a\,;$

on a donc

${\frac {nc^{a}}{\left(c^{a}-1\right)^{2}}}<{\frac {n}{a^{2}}}<{\frac {i+1}{a^{2}}}.$

Ainsi la formule $(\mu ')$ peut être employée, tant que$i+1$ surpasse $n,$ ce qui est conforme à ce que l’on a dit dans le n^o 41 du Livre I^er, d’après