De là il est aisé de conclure
![{\displaystyle \triangle ^{n}s^{i}={\frac {\left({\cfrac {i}{a}}\right)^{i+1}c^{as-i}\left(c^{a}-1\right)^{n}}{\sqrt {{\cfrac {i(i+1)}{a^{2}}}-in{\cfrac {c^{a}}{\left(c^{a}-1\right)^{2}}}}}}\left(1+{\frac {15f'^{2}-12ff''}{16f^{3}}}+{\frac {1}{12i}}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/216b1992350d2ebbccb2a3e42719fd070bf635c8)
formule qui coïncide avec la formule
du no 40 du Livre Ier.
Cette formule suppose
positif, et c’est ce qui a lieu lorsque
surpasse
En effet, si, dans l’équation
![{\displaystyle 0={\frac {i+1}{a}}-s-{\frac {nc^{a}}{c^{a}-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202b0db18d7c8dc77b82a3f16ca931985f640dd7)
on suppose
infiniment petit, le second membre est positif et égal à
ensuite,
étant positif et infini, ce second membre devient négatif et égal à
il y a donc une valeur positive de
qui satisfait à cette équation. Mais il n’y en a qu’une ; car, s’il y en avait deux, la fonction
aurait un maximum entre ces deux valeurs ; on aurait donc à ce maximum
![{\displaystyle 0=-{\frac {i+1}{a^{2}}}+{\frac {nc^{a}}{\left(c^{a}-1\right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6013c155d2a4ad33e86512133141105cdf9ba4fd)
ce qui ne se peut,
étant positif. En effet,
est plus grand que
ou
ce qui est visible ; car on a
![{\displaystyle c^{\frac {a}{2}}-c^{-{\frac {a}{2}}}=a+{\frac {a^{3}}{4.1.2.3}}+\ldots >a\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e98b519520c5c8fbfca198cdcfb32c49bf77dabc)
on a donc
![{\displaystyle {\frac {nc^{a}}{\left(c^{a}-1\right)^{2}}}<{\frac {n}{a^{2}}}<{\frac {i+1}{a^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a81d12d557284b6c85b5dab50adb4c66b9fe7d9d)
Ainsi la formule
peut être employée, tant que
surpasse
ce qui est conforme à ce que l’on a dit dans le no 41 du Livre Ier, d’après