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appliquant aux intégrales précédentes la méthode du n^o 24 du Livre I^er, on trouvera à très peu près, pour l’intégrale du numérateur,

${\frac {{\sqrt {2\pi }}\mathrm {X} ^{rn+2}\left(1-{\cfrac {r}{\mathrm {X} }}\right)^{n+1}c^{-X}}{{\sqrt {n}}\mathrm {X} ^{2}+n(r-1)(\mathrm {X} -r)^{2}}},$

$\mathrm {X}$ étant la valeur de $x$ qui rend un maximum la fonction $x^{rn-n}(x-r)^{n}c^{-x}.$ L’équation relative à ce maximum donne pour $\mathrm {X}$ les deux valeurs

$\mathrm {X} ={\frac {rn+r}{2}}\pm {\frac {\sqrt {r^{2}(n-1)^{2}+4rn}}{2}}.$

On peut ne considérer ici que la plus grande de ces valeurs qui est, aux quantités près de l’ordre ${\frac {1}{rn}},$ égale à $rn+{\frac {n}{n-1}}\,;$ alors l’intégrale du numérateur de la fonction $(o)$ devient à peu près

${\frac {{\sqrt {2\pi }}(rn)^{rn+{\frac {1}{2}}}c^{-rn}\left(1-{\cfrac {1}{n}}\right)^{n+1}{\sqrt {r}}}{\sqrt {(r-1)\left(1-{\cfrac {1}{n}}\right)^{2}+1}}}.$

L’intégrale du dénominateur de la même fonction est, par le n^o 33, à fort peu près,

${\sqrt {2\pi }}(rn)^{rn+{\frac {1}{2}}}c^{-rn}\,;$

la fonction $(o)$ devient ainsi

${\frac {\left(1-{\cfrac {1}{n}}\right)^{n+1}{\sqrt {r}}}{\sqrt {(r-1)\left(1-{\cfrac {1}{n}}\right)^{2}+1}}}.$

On peut la mettre sous la forme

${\frac {\left(1-{\cfrac {1}{n}}\right)^{n+1}}{\sqrt {\left(1-{\cfrac {1}{n}}\right)^{2}+{\cfrac {2}{rn}}-{\cfrac {1}{rn^{2}}}}}}\,;$

$rn$ étant supposé un très grand nombre, cette fonction se réduit à fort